18

Дополнительные главы математики. 3 семестр ОФ. 3 ч/нед. Дифф. Зачет. [I] ДИ ФНП – 32 час; СР «ФНП»; ТР 2.5 «ЛЭ f(x,y)»

[II] Функции Бесселя – 11 час. Дифф. зачет

[III] Комбинаторика – 8 час. Дифф. Зачет

Дифференциальное Исчисление Функций Нескольких Переменных [дифнп].

Основная литература.

1. Бугров Я.Н., Никольский С.М. Высшая математика, т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник для ВУЗов.-М.: Наука, 2003, 2005, 2007.

2. Сборник задач по математике для втузов. Учебное пособие для втузов, ч.2/ Под ред. Ефимова А.В. и Поспелова А.С.-М.: Физматлит, 2003.

3. Боревич Е.З., Жукова Е.Е., Челкак С.И. Дифференциальное исчисление функций многих вещественных переменных. Учебное пособие. – СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2001.

4. Колбина С.А. и др. Типовые расчеты по дисциплине «Математический анализ»: Учебное пособие. – СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

Дифференциальное Исчисление Функций Нескольких Переменных [ДИФНП]. 1

§2 Функции Нескольких Переменных (фнп). 4

§3. Предел и непрерывность ФНП. 8

§4.Частные производные ФНП. Производная и градиент ФНП. 9

§5 Формула и полином Тейлора 1 порядка. 11

§ 6 Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности z=f(x,y). 12

§ 7 Производная ФНП по направлению. Свойства градиента ФНП. 13

§8 Частные производные второго порядка. Матрица Гессе. Формула Тейлора 2 порядка 14

§9 Локальные экстремумы ФНП. Необходимый признак Л.Э. 15

§10. Достаточное условие локального экстремума ФНП. 16

Экз. задачи.

1. Изобразить на плоскости D_f для функций:

2. Какие поверхности в R3 задаются уравнениями:

3. Определить композиции функций и: (1) (2)

4. Найти

5) Показать, что

6) Вычислить приближенное значение , если f(x,y,z)=x∙y∙e^x∙z

7) Найти в точке А(1,2,3) производную функции g(x,y,z)= x²y - xy² +2xyz² в направлении радиус-вектора точки А.

8) Найти Л.Э. функции

§1. Введение. Основные понятия и определения. Из курсов АиГ и МА:

1) Будем отождествлять: вектор и точку в n-мерном координатном пространстве OX1X2…Xn, норму вектора и рачсстояние между точками.

2)  Окрестность и Проколотая Окрестность радиусом r>0 точки

Следствия.

3) «Предельная точка множества D»  - любая проколотая окрестность точки содержит точки множества. SOS:

«Изолированная точка множества D» - некоторая проколотая окрестность точки не содержит точек множества.

«Внутренняя точка множества D» -«достаточно малая» окрестность точки содержит только точки множества. Любая внутренняя точка множества является его предельной точкой.

«Граничная точка множества D» - либо изолированная точка, либо точка, любая окрестность которой содержит как точки множества, так и точки, не принадлежащие множеству.

«Граница γ_D множества D» - множество граничных точек множества.

4) Множество Dназывается областью, если все его точки – внутренние. Область называется замкнутой областью.

5) Линии на плоскости.

6) Алгоритм «метода интервалов» решения неравенств F(x,y) <(>) 0 для непрерывной функции.

(1) «Выколоть» на плоскости точки и линии, в которых функция не определена.

(2) Решить уравнение f(x,y)=0 и изобразить соответствующие «нулевые решения» - точки и линии «нулевого уровня» функции на плоскости.

(3)Определить «знак» функции в каждой части плоскости, ограниченной смежными «нулевыми линиями»,- вычислив значение функции в какой-нибудь внутренней точке.

(4) «Записать» множество решений неравенства.

Пример. Решить неравенство f(x,y)=|x/y| -1<0.

(1) “выколоть” на плоскости прямую L₁: y(x)≡0 .

(2) Уравнение f(x,y)=0|x/y|=1 |x|=|y|  L_1,2 : y=±x, f(L_2,3 )=0

(3)

A2(1,1/2); D₂

D₆

А6(-1,1/2)

L₁

А5(-1,-1/2) А3(1,-1/2)

D₅ D₃

D₄

(4)