2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем

2.1 Декартова система координат.

С траекторией связаны такие величины, как координаты тела x(t), скорость x(t) = dx(t)/dt и ускорение a = x(t) = d²x(t)/dt². Время входит в уравнение Ньютона только через вторую производную. Вследствие этого уравнение Ньютона остается инвариантным при замене t на - t.Координатыx₁, x₂, , x_s, являютсянезависимыми переменными, а соответствующие им скоростиx₁, x₂, , x_s, являются зависимыми переменными, поскольку определяются как производные от координат по времени.

2.2 Гамильтонова система координат.

в гамильтоновском описании присутствуют координаты q₁,q₂, , q_s и скорости или, точнее, импульсы p₁, p₂, , p_s (в простых ситуациях импульс равен произведению массы на скорость: p_i = m x_i), определяются как независимые переменные.

Центральная величина всей гамильтоновской механики - функция Гамильтона или гамильтониан, H.

4. Гамильтониан.

Гамильтоновская динамика рассматривает только консервативные обратимые во времени систесы, в котрых Н не зависит явно от времени. Во многих ситуациях гамильтониан имеет вид

H = E_kin(p₁, p₂, , p_s) + V_pot(q₁, q₂, , q_s).

E_kin(p₁, p₂, , p_s) – кинетическая энергия системы, зависящая от импульсов и не зависящая от координат.

V_pot(q₁, q₂, , q_s) – потенциальная энергия системы, зависящая только от координат.

В гамильтоновском описании число независимых переменных удваивается (в ньютоновском уравнении независимыми переменными являются только координаты), но уравнения движения существенно упрощаются.

5. Канонические уравнения Гамильтона.

Если рассмотреть Nточек. Каждой из 3Nкоординат этих точек соотвествует канлоническое уравнение движения:

dq/dt = H/p.

Аналогичное каноническое уравнение движения для 3N импульсов

dp/dt = - H/q.

2.6 Переход к полярным координатам. Каноническое преобразование. Канонические уравнения систем без взаимодействия. Интегрируемые динамические системы: потенциальную энергию можно исключить с помощью канонического преобразования?

q= 2J/mSin a иp =  2JmCos a. Это означает переход к полярным координатам: J – переменная действия, a – угловая переменная. Новые переменные удовлетворяют каноническим уравнениям.

В результате dJ/dt = - H/a = 0, т.е. переменная действия является инвариантом движения.

Что же касается переменной a, то da/dt = - H/J = . Следовательно эволюция угловой переменной во времени описывается линейной функцией a =  t + a₀.Такое преобразование позволяет исключить взаимодействие (потенциальную энергию) из гамильтониана. Возможность исключить потенциальную энергию с помощью преобразования – основная характерная особенность интегрируемых динамических систем в смысле Пуанкаре.

3. Резонансы. Динамический хаос

Термин циклические переменные для набора переменных, исключающих взаимодействия в гамильтониане, относится к периодическому характеру движения, который делается явным в таких переменных. Если интегрируемая система имеет одну степень свободы, то ее движение можно представить как движение по окружности. В случае двух

переменных мы имеем движение на торе. Очень важную роль играют частоты системы ₁, ₂,.., _s. Все они являются производными по времени различных угловых переменных a₁, a₂,..,a_s и определяются каноническими уравнениями

_i = da_i/dt = - H/J_i.

Именно через эти частоты мы приходим к понятию резонанса, имеющему решающее значение для теоремы А. Пуанкаре.

Периодическое явление – не правило, а исключение.