- •4.5 Антиинтуитивное поведение.
- •9.5 Рамки экспериментов с моделью.
- •3. Уравнение Ресслера
- •3.1 Получение характеристического уравнения третьего порядка для уравнения, заданного в отклонениях от точки равновесия, из якобиана.
- •3.3 Условие для определения вида собственных значений характеристического уравнения третьего порядка.
- •2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем
- •2.1 Декартова система координат.
- •2.2 Гамильтонова система координат.
- •3.1 Условие резонанса.
- •4. Консервативные динамические системы
- •4.1 Огромный класс объектов классической динамики – консервативные системы.
- •4.2 Инерциальная система отсчета. Возмущающих сил нет. Три закона сохранения. Обратимость времени.
- •4.4 Условие Лиувилля для консервативных систем.
- •1.1 Детальное качественно исследование этого уравнения: установившиеся режимы и асимптотическое поведение.
- •1.2 Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.
- •2.1 Постановка задачи.
- •2.2 Исследование модели в линейном приближении.
- •2.3 Влияние параметра.
- •2.4 Рождение предельного цикла. Задача Коши.
- •2.5 Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.
- •2.6 Изменение концентраций по длине реактора.
- •1.1 Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы. 2 Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.
- •1.6 Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.
- •2. Хаотические непериодические режимы динамических систем. Странные аттракторы
- •2.7 Ляпуновкие показатели - наиболее эффективно и просто вычисляемые характеристики динамического хаоса. Объясните.
- •3.Фракталы
- •3.1 Объекты с дробной размерностю.
- •3.2 Какова размерность странных аттракторов? – дробная
- •3.3 «Аттрактор определяет режимы, «чувствительные к начальным условиям»». Объясните.
- •1. Теория катастроф
- •1.1 Потенциальные функции катастроф. Условия критического состояния.
1.1 Детальное качественно исследование этого уравнения: установившиеся режимы и асимптотическое поведение.
Это уравнение допускает детальное качественное исследование. Для этого уравнения можно:
определить все аттракторы;
доказать, что именно к ним при tсходятся все траектории;
указать, при каких начальных данных траектории выходят на определенный аттрактор.
До сих пор мы имели дело именно с такими уравнениями: уравнение математического маятника, уравнение Ресслера, уравнение роста населения Земли.
Нас интересовали установившиеся режимы и асимптотическое поведение решений при t.
1.2 Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.
Математическим образами установившегося режима является притягательное множество в фазовом пространстве – аттрактор.Одни аттракторы описывают не меняющиеся во времени переменные, другие – периодические или более сложные режимы. Важно знать число и тип аттракторов. Важно знать множество начальных данных, с которых происходит выход системы на определенный аттрактор (область притяжения аттрактора).
Вид фазовых траекторий вблизи аттрактора и далеко от аттрактора.
Вблизи аттракторов вид траекторий известен. Вдали от равновесий вид фазовых траекторий может быть сложным. Возникает вопрос об упрощении вида траекторий в фазовом пространстве путем замены фазовых переменных, как на приведенных рисунках.
Найти одну такую замену глобально для всего фазового пространстване удается. Решение такой задачи можно получить только в ограниченной окрестности пространства. Существуеттеорема о выпрямлении векторного полявN-мерном фазовом пространстве. Прямое и обратное отображения траекторий вдали от особых точек осуществляются дифференцируемыми функциями и являются взаимно однозначными (диффеоморфизмы).
Вдали от особых точек все динамические системы локально эквивалентны простейшему дифференциальному уравнению x = с, y = 0.
Если приводит семейство к каноническому виду, то при этом очень важном оказываются типичность, грубость, структурная устойчивость, то есть система не меняет качественные свойства при малых шевелениях. Реализация локального анализа привела к развитию теории бифуркации, теории катастроф. Во многих случаях локальности недостаточно, необходима глобальность, например, важно знать, сколько и какие аттракторы, как изменится их число при измени параметров и т.д.
Уравнение автокаталитической реакции (брюсселятор)
Ну, это типа математическая теория возникновения фермента из первичного бульона. Брюсселятор - это самозародившийся фермент или иное создание, способное к самоорганизации.
2.1 Постановка задачи.
Согласно закону действия масс химическое взаимодействие веществ X иY, сопровождающееся возникновением третьего веществаZ, условно записывается какX+ Y Z. Скорость изменения концентрации веществаZ пропорциональна произведению концентраций веществX иY: Z = k X Y, гдеk - коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент можно принять постоянным, зависящим от размеров молекул, их скорости и др. факторов. Еслиnмолекул веществаX взаимодействуют с одной молекулой веществаY, то изменение концентрацииZ пропорциональноXnY.
Простейшая модель предложенная Пригожиным, которая имеет колебательную динамику.
I A → X
II B + X → Y + D
III 2X + Y → 3X (автокатализ)
IV X → E
V A + B → E + D