Канке В.А., Лукашина Л.В. Концепция современного естествознания Теория и практика

каковыми в рассматриваемом случае является многообразие инерциальных систем отсчета. Неизменность при тех или иных преобразованиях называется симметрией. Имея это в виду, принцип инвариантности можно назвать принципом симметрии. Более того, его можно называть также принципом относительности.

Принципы инвариантности как принципы относительности

Почему принципы инвариантности часто называют принципами относительности? Потому что инвариантность законов и переменных определяется относительно некоторых систем отсчета. Если акцент делается на неизменность законов и переменных, то предпочитают говорить о принципе инвариантности. Если акцентируется, что законы и переменные определяются относительно некоторых систем отсчета, то говорят о принципах относительности. Получается, что одни и те же принципы называются по-разному. Вряд ли следует приветствовать такую лингвистическую практику. Увы, она существует, и с этим фактом приходится считаться.

Инвариантность законов предполагает вполне определенную природу тех переменных, которые входят в их состав. Они могут быть постоянными величинами, но могут быть и переменными. Этот случай приобретает особую значимость. Именно он рассматривается далее в связи с рассмотрением преобразований Галилея и Лоренца (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Преобразования Галилея и Лоренца

Уравнения записаны для двух систем отсчета. Движение проходит по оси х. В начальном ее положении материальная точка находится на расстоянии х’ от начала координат, от которой она удаляется со скоростью v.

Смысл преобразований Галилея и Лоренца определяется принципом инвариантности законов во всех инерциальных системах отсчета. В отсутствие указанного принципа рассматриваемые преобразования были бы просто неверны. Что касается преобразований Лоренца, названных так с легкой руки французского физика и математика А. Пуанкаре, то их открытие стало итогом усилий большой группы ученых, Дж. Лармора, самого Х. Лоренца и А. Пуанкаре. Эйнштейн, продолжая их усилия, связал смысл преобразований Лоренца с принципом не только инвариантности законов, но и инвариантности максимальной скорости передачи физических взаимодействий.

41

Преобразования Лоренца позволили объяснить многие явления. В частности выяснилось, почему скорость света, испускаемого источником, движущимся со скоростью v не превышает с. Оказалось, что она должна подсчитываться по ранее неизвестной формуле, выводимой из преобразований Лоренца:

Читатель имеет возможность убедиться, что правая сторона формулы (2.4) при v c равна с.

Таким образом, был преодолен еще один парадокс физики.

Переходим теперь к рассмотрению релятивистских эффектов времени

ипространства, которые даже в наши дни то и дело вызывают ожесточенные споры. Речь идет, как часто выражаются, о замедлении времени в движущихся инерциальных системах отсчета, укорочении длин и об отсутствии абсолютной одновременности. Все эти эффекты всесторонне подтверждены физиками. Почему же столь затруднено их восприятие?

Дело в том, что многие люди не умеют должным образом мыслить теоретически. Физические теории увязывают воедино множество аргументов. Из одних аргументов следуют другие, и в итоге образуется устойчивая концептуальная сеть. Но есть люди, которые способны руководствоваться лишь довольно простыми ходами мысли, которые им кажутся очевидными

инеопровержимыми. Убедить их в том, что положения, принимаемые ими за очевидные, на самом деле таковыми не являются, порой весьма затруднительно. Чтобы не быть голословными, рассмотрим вопрос о существовании абсолютной одновременности.

Интуитивно может показаться, что некоторый данный момент времени существует для всех объектов и существ Вселенной. Но при ближайшем рассмотрении это впечатление рассеивается. Последуем примеру А. Эйнштейна. Он часто рассматривал мысленные эксперименты, которые позволяли правильно понять содержание трудных для понимания концептов.

t 0

t 1

t 2

Рис. 2.2. Относительность одновременности

42

Рассмотрим движущийся относительно перрона вокзала вагон поезда, точно в середине которого происходит вспышка света. Пассажир, находящийся внутри вагона, вынужден будет признать, что поток света достигнет заднюю и переднюю стенки вагона за одно и то же время, следовательно, одновременно. Сделав такой вывод, мы учли, что свет распространяется вдоль и против направления движения поезда с одинаковой скоростью. Такого же убеждения придерживается и наблюдатель, находящийся на перроне вокзала. Он вынужден сделать вывод, что импульс света достигнет задней стенки выгона ранее, чем передней (рис. 2.2). Дело в том, что одна из стенок приближается к месту излучения пучка света, а другая удаляется. Итак, события, которые являются одновременными для одной инерциальной системы отсчета, для другой уже таковыми не являются. Кто считает, что есть абсолютная одновременность событий, тот заблуждается! Нет единого времени для всех мировых событий. Время зависит от их своеобразия.

Комментарий по поводу терминов «пространство» и «время»

В данном месте, пожалуй, целесообразно прокомментировать содержание часто используемых терминов «пространство» и «время». С ними связано много различного рода неясностей. Физика всегда имеет дело с физическими объектами, обладающими некоторыми признаками. Учитывая это обстоятельство, сразу же становится очевидным, что несостоятельно, например, выражение «Физические объекты обладают пространством и временем». Правильно утверждать, что физические объекты обладают протяженностями (длинами, площадями, объемами, которые измеряются соответственно в м, м2 и м3). В качестве процессов они же обладают длительностями, измеряемыми в секундах (сек).

Итак, в составе принципов и законов фигурируют исключительно протяженности (а не пространство) и длительности (а не время). В этой связи вполне резонно заявить, что термины «пространство» и «время» являются лишними. Желая подкрепить этот вывод дополнительными аргументами, укажем на показательные аналогии. Физические объекты обладают массами, но не массостью, зарядами, но не зарядностью.

На наш взгляд, использование в физике терминов «пространство» и «время» остается данью истории. Иначе говоря, указанные термины устарели. История повторяется: на первый взгляд кажется, что существуют пространство как мировое вместилище объектов и мировое время как некоторый космический рок. Но совместить это представление с содержанием физических теорий не удается. Что именно представляют собой протяженности и длительности, выясняется лишь в случае, если их природа интерпретируется посредством ссылок на законы и принципы физики.

Вид приведенных выше преобразований Галилея и Лоренца свидетельствует об их известной схожести. Она, разумеется, тоже нуждается в осмыслении. Нетрудно видеть, что если в преобразованиях Лоренца с приравнять к бесконечности или же устремить к ней, то они просто превращаются в преобразования Галилея. И понятно почему: полагая, что скорость передачи взаимодействий может быть бесконечно большой, мы перешли на позиции классической механики с характерной для нее концепцией дальнодействия. В итоге потеряно из вида своеобразие рассматриваемых нами теорий.

43

Рассмотрим другую возможность их сравнения, связанную на этот раз

к 1, тем меньше классическая механика отличается от релятивистской механики.

Таким образом, классическая механика является хорошим приближением к релятивистской механике в случае малых скоростей перемещения объектов, т.е. если v << с.

В этом утверждении как раз и состоит осмысление связи релятивистской и классической механики. В полном соответствии с интертеоретической трансдукцией релятивистская механика рассматривается в качестве ключа для интерпретации содержания классической механики:

Выводы

•В классической механике исходят из принципа дальнодействия, согласно которому в любой инерциальной системе отсчета взаимодействия передаются с бесконечной скоростью. Из этого принципа следуют преобразования Галилея, а также утверждение о том, что протяженности объектов и длительности процессов во всех системах отсчета являются одними и теми же.

•В релятивистской механике исходят из принципа близкодействия. Из этого принципа следуют преобразования Лоренца, а также утверждение о том, что интервалы событий во всех инерциальных системах отсчета являются одними и теми же (но не протяженности и длительности!).

•Не существует абсолютная одновременность.

•Пространство не существует наряду с протяженностями. Время не существует наряду с длительностями.

2.6. Вторая революция А. Эйнштейна

Эйнштейн прославился в качестве глубочайшего знатока не только электромагнитных, но и гравитационных явлений. Он понимал, что в свете обнаружения принципа максимальной скорости передачи взаимодействий должна быть обновлена не только электродинамика, но и теория тяготения. В этой связи нужны были новые идеи. Его пристальное внимание привлекло следующее обстоятельство.

В электромагнитном поле ускорение, с которым движется тело, зависит как от характеристик поля, так и от параметров самого тела, в частности его заряда. Принципиально другая ситуация имеет место в случае гравитационного поля. В нем все тела движутся с одинаковым ускорением. Дело в том, что сила тяготения, с которой данное тело А притягивает другое тело В, пропорционально массе тела В. Но ускорение, приобретаемое телом В, обратно пропорционально массе тела В. В результате ускорение, приобретаемое телом В под влиянием притяжения его телом А, не зависит от массы тела В. При подсчете ускорения тела В рассматриваемая сила делится на массу тела В, которая в итоге сокращается. Именно поэтому ускорение свободного падения на Землю для всех тел является одинаковым.

44

Рис. 2.3. Демонстрация одинаковости ускорения свободного падения

для всех тел

Итак, явления тяготения обладают разновидностью единообразия, которая чужда другим типам взаимодействий, в частности электромагнитным. Ее можно выразить следующим образом: тело А образует гравитационное поле, геометрия которого несет всю информацию о движении тел в этом поле. На первый план выходит геометрическое представление гравитационного поля. Покажем математическое оформление этой идеи.

В электродинамике Максвелла — Эйнштейна интервал задается формулой

Интервал в данном случае является расстоянием, которое задано в системе координат с четырьмя осями (сt, х, y, z). Напомним читателю, что он, надо полагать, помнит со школьной скамьи формулу определения расстояния:

Уравнение (2.6) отличается от уравнения (2.7) в двух отношениях. Во-первых, в нем используются четыре переменные, три пространственные и одна временная. Подчеркивая это обстоятельство, говорят о четырехмерном пространстве-времени. Во-вторых, в правой части уравнения (2.6) присутствуют два знака — плюс и минус. Если бы отсутствовал знак минус, то пространство-время называлось бы евклидовым, ибо именно такой континуум, впрочем, не с четырьмя, а с тремя измерениями, рассматривал Евклид еще в III в. до н.э. В силу того, что в уравнении (2.6) присутствует наряду со знаком плюс (при координате ct) и знак минус, то представляемое этим уравнением пространство-время называется псевдоевклидовым.

45

Главная идея А. Эйнштейна состояла в том, что интервал можно задать формулой

где i, k 0, 1, 2, 3; x0 ct — временная координата, x1, x2, x3 — произвольные пространственные координаты. Концепт, представленный формулой (2.8), очень своеобразен. По своей математической форме он относится к геометрии, а именно к римановой геометрии. Но по своему физическому смыслу он содержит величины gik динамического свойства, ибо они определяются массой, импульсом и энергией того тела, которое является источником гравитационного поля. Указанная связь выражается уравнениями тяготения, которые представляют релятивистскую теорию тяготения. Для этой теории характерны многочисленные эффекты. Один из них состоит в том, что ход времени определяется потенциалами гравитационного поля. Что касается принципа релятивистской теории тяготения, то им, как показал гениальный математик Д. Гильберт, является уже известный читателю принцип наименьшего действия.

А. Эйнштейн по праву гордился тем, что изобрел теорию тяготения, которая была подтверждена многочисленными экспериментами. Тем не менее некоторые его выводы были поставлены под сомнение. В частности это относится к интерпретации соподчиненности специальной и общей теории относительности. Эйнштейн полагал, что выводы релятивистской электродинамики имеют менее общий характер, чем выводы релятивисткой теории тяготения. В этой связи он соотносил с релятивистской механикой принцип специальной относительности, а с релятивисткой теорией тяготения — принцип общей относительности. Есть веские основания считать, что в данном случае Эйнштейн ошибался.

Сравним уравнения (2.8) и (2.6). С математической точки зрения, уравнение (2.6) является не более чем частным случаем уравнения (2.8). Но такой вывод несостоятелен в случае, если рассматривается их физический смысл. Это понятно постольку, поскольку электромагнитное поле не является частным случаем гравитационного поля. С учетом этого обстоятельства абсолютное большинство современных физиков не считают, что следует различать два принципа, а именно принцип специальной относительности и принцип общей относительности. Для релятивистской электродинамики и релятивистской теории тяготения характерны различные принципы инвариантности. В электродинамике принцип инвариантности таков, что в любых системах отсчета сохраняется величина интервала (ds 2). Этого нет в теории тяготения. Но у нее есть свои инварианты, которые содержательно рассмотрены в работах А. Л. Зельманова.

Теория тяготения А. Эйнштейна привела к многочисленным замечательным открытиям. Было обнаружено явление разлета галактик, космологическое красное смещение, т.е. наблюдаемое для всех далеких источников понижение частот излучения. Было объяснено в основных чертах образование так называемых черных дыр, массивных звезд, способных поглощать галактики. Было также предсказано существование гравитационных волн.

46

Разумеется, релятивистская теория тяготения сама не лишена трудностей. Она недостаточна для описания квантовых эффектов, которые, по общему убеждению, характерны для гравитационных явлений в степени не меньшей, чем, например, для электромагнитных явлений.

Альберт Эйнштейн, автор двух грандиозных революций в физике, заслуживает пышного титула гения. Он любил человечество, которому в 1952 г. он однажды подарил шутливую гримасу (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Эйнштейн в свой 72-й день рождения

Выводы

•А. Эйнштейн является создателем релятивистской теории тяготения.

•Своеобразие гравитационных явлений удается выразить посредством использования римановой геометрии.

•Принципы инвариантности соответственно релятивистской электродинамики

ирелятявистской теории тяготения не соотносятся как специальное и общее.

•Для релятивистской теории тяготения характерны особые пространственновременные эффекты.

2.7.Квантовая революция. Единство прерывности и нерерывности

К началу XX столетия сведения физиков о строении вещества оставляли желать много лучшего. Было известно, что в некоторой форме вещество содержит легкие отрицательные частицы, электроны, заряд и масса которых были определены в 1897 г. посредством изучения катодных лучей англичанином Дж. Дж. Томсоном. Катодные лучи излучаются катодом, особенно при его нагревании и движутся по направлению к аноду, т.е. положительно заряженному полюсу. Истинное расположение электронов

ватомах оставалось неизвестным.

В1900 г. Планк предложил путь преодоления одного из парадоксов классической физики, который называли ультрафиолетовой катастрофой. Он состоял в том, что по мере сокращения длин волн теплового излуче-

47

ния полная мощность этого излучения становилась бесконечно большой. Чтобы остановить этот регресс в бесконечность, Планк предположил, что излучения имеют квантовую природу. В наши дни это обстоятельство фиксируется в виде соотношения:

где h — постоянная Планка, а — частота излучения. Отметим, что запись многих физических уравнений несколько упрощается, если используется приведенная постоянная Планка 1,054 10 34 Дж с.

Картина со строением вещества в значительной степени прояснилась после замечательных экспериментов, проведенных в 1911 г. англичанином Э. Резерфордом. Он облучал положительно заряженными -частицами, излучаемыми радиоактивным веществом, тонкую пластину золотой фольги. К его удивлению, порой, но редко частицы отклонялись от прямой линии на 90 и даже на 180. Тщательно сопоставив результаты измерений, он пришел к выводу, что ядра атомов представляют собой сверхплотное положительно заряженное вещество. А вокруг них движутся электроны.

Рис. 2.5. Модель атома Бора

Планетарную модель атома в значительной степени усовершенствовал в 1913 г. датский физик Н. Бор. Он предположил, что электроны излучают или поглощают фотоны при переходе с одной стационарной орбиты на другую. Если энергия электронов увеличивается, то фотоны поглощаются, если она уменьшается, то, наоборот, фотоны излучаются. К тому же он предположил, что электроны могут находиться лишь на определенных орбитах. Это означало, что многие параметры электронов обладают дискретными, а не непрерывными значениями.

Описанная выше гипотеза Бора вызывала большие надежды, но она противоречила содержанию электродинамики Максвелла — Эйнштейна,

48

согласно которой электрон, вращающийся вокруг ядра атома, должен был излучать электромагнитные волны и падать на ядро. Этот вывод явно противоречил устойчивости вещества. В этой связи остро ощущалась потребность в принципиально новых идеях. Их предстояло выработать.

Итак, физики вели целенаправленный поиск таких уравнений, которые позволяли бы разом объяснить и устройство атома, и линейчатые спектры, и фотоэффект, и характерные особенности излучений. И они нашли эти уравнения! Особенно преуспели в этом отношении три автора — В. Гейзенберг, Э. Шрёдингер и П. Дирак. Все трое стали лауреатами Нобелевской премии: Гейзенберг в 1932 г., а Шрёдингер и Дирак — в 1933 г. К этим трем гениальным физикам следует добавить еще М. Борна, автора статистической интерпретации квантовой механики, и В. Паули — за открытие принципа запрета. И они были удостоены Нобелевской премии по физике: Паули — в 1945 г., а Борн — в 1954 г.

Основополагающие уравнения квантовой механики были обнаружены в 1925 г. сначала В. Гейзенбергом, М. Борном и П. Иорданом (при ведущей роли первого из них) и чуть позже Э. Шрёдингером. Их смысл рассматривается ниже. Квантовые объекты описываются посредством волновых функций. Волновую функцию, например, свободной частицы, движущейся по оси х, представляет выражение

где Е — энергия, t — время, рх — импульс в направлении оси х, х — координата.

В доквантовой физике объекты задаются списком их признаков, они даны как бы в россыпи. В квантовой механике признаки объектов сгруппированы в волновые функции. Эти функции называются волновыми постольку, поскольку они очень напоминают уравнения волн, известных из классической физики. Разумеется, далеко не случайно используется показательная функция с основанием е, а также постоянная Планка и мнимые величины, на которые указывает символьный значок i. Производной показательной функции с основанием е, является сама эта функция. Оказывается, эта закономерность актуальна при воспроизведении законов квантовой механики. Постоянная Планка необходима для описания дискретных процессов. Поэтому она в записи волновой функции появляется неслучайно.

Физический смысл использования мнимых чисел

Но почему там же появляется кажущийся несколько загадочным значок i ? Посредством i записываются так называемые мнимые числа. Неужели в квантовой механике присутствует некая мистика? Смысл рассматриваемой ситуации определяется, разумеется, не мистикой. Дело в том, что в квантовой механике подсчитываются вероятности наступления некоторых событий, в связи с чем используются квадраты чисел. Но квадрат как положительного, так и отрицательного числа является числом положительным. Но некоторые вероятности погашают друг друга. В этой связи нужны такие числа, квадраты которых являются отрицательными числами. Для этой цели как раз и подходят мнимые числа. Сравните три случая: 52 25; (–52) 25; (5i) –25.

49

Впоказателе волновой функции энергия группируется со временем,

аимпульс — с координатой (протяженностью). Такая избирательность физических параметров присутствует уже в классической физике.

Более нетривиальное обстоятельство состоит в том, в квантовых процессах специфическим образом приходится учитывать все возможности, имеющиеся в той или иной ситуации. Поясню сказанное таким примером. Допустим, что пластинка обладает n > 2 щелями. Даже если экспериментатор будет пытаться направлять частицы исключительно по направлению избранных щелей, тем не менее, придется сопоставить каждой щели свою волновую функцию. Это обстоятельство фиксируется принципом суперпозиции:

где c1, c2, …, cn — произвольные числа, выбор которых определяется лишь условием нормировки амплитуды вероятности.

Принцип суперпозиции свидетельствует о том, что волновая функция является функций всех переменных, входящих в уравнение (2.11) Иначе говоря, она является сложным системным образованием. Правило нормировки представлено уравнением

Его физический смысл состоит в том, что речь идет о частице, которая с определенной долей вероятности может проявиться в избранном для рассмотрения объеме.

Продолжим описание оснований квантовой механики. К любой теории предъявляется требование концептуального оправдания измерений. В квантовой механике любому физическому параметру соответствует некоторый оператор

Запишем операторы (выражения с крышечками) соответственно координаты х и импульса p по оси х:

Действие оператора на волновую функцию равно произведению его собственного значения а на волновую функцию:

Уравнение (2.15), а оно является ничем иным, как физическим законом, поражает своим высоким информационным содержанием, заключенным в необычайно лаконичную формулу. Налицо исключительный триумф физиков.

50