Теорема

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 следует, что  f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке x₀, то f(x)-непрерывна в точке x₀.

3. Ф-ция f(x) -непрерывна в точке x₀, если lim(f(x))=f(x₀), при x→x₀

+Арифм действия с ф-циями связаны с пределами ф-ций, равными A и B

Точки разрыва функции.

Определение: Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

Примеры:

1) f(x) = [x].

x = n (целое)-точка разрыва.

2) D(x) = (функция Дирихле).

D(x) имеет разрыва в каждой точке числовой прямой, так как  точки а D(x) не существует.

3) f(x) = x D(x)

f(x) непрерывна в точке х = 0, так как f(x) = 0 = f(0).

f(x) разрывна во всех остальных точках, так как  а  0 f(x) не существует- (докажите самостоятельно).

Классификация точек разрыва.

1)Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если  f(x), но

f(x)  f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.

Пример:

f(x) = . Будет доказано, что = 1, но в точке х = 0 функция не определена, тем самым х = 0 -точка устранимого разрыва этой функции.

Если положить f(x) = , то f(x) станет непрерывной в точке х = 0, то есть разрыв будет устранён.

2) Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если  f(x) и f(x), но f(x)  f(x).

Пример:

f(x) = [x]

x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.

3) Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Примеры:

1) f(x) = , х = 0 - точка разрыва второго рода, так как f(+0) = +, f(-0) = -.

2) Функция Дирихле D(x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В частности, f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Пример:

f(x) = непрерывна на любом сегменте, в точках которого (х) не обращается в нуль.

Билет 23

Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(xx0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(xx0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить через у приращение ф-ции, т.е. у=f(x0+x)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(x0)y=0~ у0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции 0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 <> y0 при х0. Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.

Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е. f(x0+)=lim(xx0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0.

Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(xx0, x<x0)f(x)=f(x0), то ф-ция наз-ся непр. слева в т. х0. Ясно что справедлива сл.теорема вытекающая из связи односторонних пределов ф-ция f(x) непр. в т-ке х тогда, когда она непр. в этой т-ке, как справа, так и слева. f(x0-)=f(x0+)=f(x0)

Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке.

Пример Р-рим степенную производст. ф-цию

Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+)  и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (Q0 при k0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва

первая теорема Вейерштрасса. Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство. (здесь рисунок)

Допустим, что f(x) не ограничена на этом сегменте, то есть  натурального n  x_n  [a, b]:

 f(x_n) > n. (1)

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть  c. Так как все  [a, b], то и c  [a, b], значит, f(x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому  f(с). С другой стороны, в силу (1) > k_n , и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) ограничена на [a, b]. Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема неверна.

Например, f(x) = на интервале 0 < x < 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f(x) огр. на множестве X. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f(x) = M, f(x) = m.

Если в каких-то точках f(x) принимает значения M и m, то говорят, что функция достигает на множестве X своих точных граней.

Пример. y = , X = {0 < x  1}. (здесь рисунок)

f(x) = 1, f(x) = 0, но f(x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперь f(x) непрерывна на [a, b], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f(x) = M, f(x) = m.