Билет 19 Критерий Коши

Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши (для   > 0   > 0,  x' и x'', 0 <x' - a < , 0 <x''- a < : f(x') - f(x'') < 

БИЛЕТ 20

Рассмотрим функции α(х) и β(х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀.

Если то α(х) и β(х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А=1, говорят, что α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые.

Если то α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).

Если , то α(х) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β(х).

Обозначения: α(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, α(х)~β(х) – эквивалентные бесконечно малые, α(х)=о(β(х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х→0, эквивалентные х: sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ln(1+x), e^x-1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12.

БИЛЕТ 21 и 22

Равномерная непрерывность функции.

Определение непрерывности, точки разрыва функции.

Определение 1:

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Примеры:

f(x) = sin x непрерывна в точке х =0 , так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f(x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а)  0, так как было доказано, что = ( (а)  0).

Замечаение: Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f(x) = f( x).

Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.

Определение 2.

f(x) называетмя непрерывной в точке а, если   > 0   > 0: | f(x) - f(а) | <  при | х - а | < .

Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём  = f(a). По определнию 2

  > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.

Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f(x) = [x].

(рисунок)

 целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n)  f(n - 0).

Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.