- •Билет 1
- •Билет 2
- •Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 6
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Верхний и нижний пределы последовательности.
- •Билет 12
- •Критерий Коши.
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Билет 16
- •Билет 19 Критерий Коши
- •Теорема
- •Классификация точек разрыва.
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Билет 25
- •Билет 27
- •Теорема
- •Билет 28
- •Определение
- •Производная.
- •Билет 29
- •Определение
- •Теорема
- •Билет 30
- •Билет 31 Теорема
- •Билет 33 Инвариантность формы первого дифференциала.
Билет 1
Рациональные числа – числа, записываемые в виде p/q, где q – натурал. число, а p- целое.
Два числа a=p1/q1 и b=p2/q2 назыв равными если p1q2=p2q1, а<b если p1q2>p2q1 и а>b если p1q2<p2q1. ab= p1p2/q1q2. Ждя любых рац чисел а и b однозачно наход их разность. Для люб рац a и b сущ-ет един c=a/b. Свойства: коммутативность а+б=б+а, ассотиативность (а+б)+с=а+(б+с), (а*б)*с=а*(б*с). Дистрибутивность (а*б)*с=ас+бс. а+0=а, а*1=а.. N- натур числа, Z- целые числа, Q- рац числа. Любое рац число должно быть записано в виде переодич десятич дроби (либо конечно с периодом 0). Правило сравнения действ. Чисел. Опр- два действ положит числа α=а0, а1, а2…, β=b0,b1,b2… говорят что число α<β если a0<b0, либо ai=bi. I=0,k. Говорят что положит число α больше отриц числа β если α=-а0, а1, а2 β=-b0,b1,b2 α>β. Модулем числа α назыв |α|=|+-а0, а1, а2…an|= а0, а1, а2…an. Говорят что отриц число α=-а0, а1, а2 < отриц числа β=-b0,b1,b2 если |α|>|β|. Если β и α действ числа причём α<β то сущ-ет рац число R такое что α<R. Геметр интерпритация действ чисел. Действ ось – числова ось. Начало корд- 0. Вся ось (-∞;+∞), интервал [a;b] – xЄR. Отрезок [a;b] __,M1__,0__,__,M2__,__; M1<0 x=a0,a1, M2>0 x=-a0,a1.
Билет 2
Комплексные числа.Комплексные числа
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида: Pn(x) = 0, где Pn(x) - многочлен n - ой степени. Пару вещественных чисел x и у назовём упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, а какое - вторым. Обозначение упорядоченной пары: (x, y). Комплексным числом назовём произвольную упорядоченную пару вещественных чисел. z = (x, y)-комплексное число.
x-вещественная часть z, y-мнимая часть z. Если x = 0 и y = 0, то z = 0. Рассмотрим z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2).
Определение 1. z1 = z2, если x1 =x2 и y1 = y2.
Понятия > и < для комплексных чисел не вводятся.
Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
M(x, y) z = x + iy.
OM = = z = .(рисунок)
называется модулем комплексного числа z.
называется аргументом комплексного числа z. Он определён с точностью до 2n.
х = cos , y = sin.
z = x + iy = (cos + isin ) - тригонометрическая форма комплексных чисел.
Утверждение 3.
Если
= (cos + i sin ),
= (cos + i sin ), то
= (cos( + ) + i sin( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) при 0.
Утверждение 4.
Если z = (cos + i sin ), то натурального n:
= (cos n + i sin n ),
Билет 3
Пусть X-числовое множество, содержащее хотя бы одно число (непустое множество).
x X - x содержится в Х. ; x X - x не принадлежит Х.
Определение: Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует число М(m) такое, что для любого x X выполняется неравенство x M (x m), при этом число М называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество Х называется ограниченным сверху, если M, x Х x M. Определение неограниченного сверху множества. Множество X называется неограниченным сверху, если M x Х x M. Определение множество X называется огранич., если оно ограничено сверху и снизу, то есть М, m такие, что x Х m x M. Эквивалентное определение огр мн-ва: Множество X называется ограниченным, если A > 0, x X: x A. Определение: Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества Х называется его точной верхней гранью, и обозначается SupХ
(супремум). =SupХ. Аналогично можно определить точную
нижнюю грань. Эквивалентное определение точной верхней грани:
Число называется точной верхней гранью множества Х, если: 1) x X: х (это условие показывает, что - одна из верхних граней). 2) < x X: х > (это условие показывает, что -
наименьшая из верхних граней).
Sup X= :
x X: x .
< x X: x > .
inf X (инфимум)-это точная нижняя грань. Поставим вопрос: всякое ли ограниченное множество имеет точные грани?
Пример: Х = {x: x>0} не имеет наименьшего числа.
Теорема о сущ-нии точной верх (ниж) грани. Всякое непустое огранич сверху (снизу) мн-во xR имеет точ верх(ниж) грань.
Теорема об отделимости числовых мн-в: ▀▀▄▄▀▀▄▄▀▀▄▄▀▀▄▄