- •Билет 1
- •Билет 2
- •Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4
- •Билет 6
- •Билет 7
- •Билет 8
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Верхний и нижний пределы последовательности.
- •Билет 12
- •Критерий Коши.
- •Свойства функций, имеющих пределы в данной точке.
- •Билет 16
- •Билет 19 Критерий Коши
- •Теорема
- •Классификация точек разрыва.
- •Билет 23
- •Билет 24
- •Билет 25
- •Билет 27
- •Теорема
- •Билет 28
- •Определение
- •Производная.
- •Билет 29
- •Определение
- •Теорема
- •Билет 30
- •Билет 31 Теорема
- •Билет 33 Инвариантность формы первого дифференциала.
Верхний и нижний пределы последовательности.
Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Определение. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек ограниченной последовательности {xn} наз. ёе верхним (нижним) пределом и обозначается: .
Если последовательность {xn} сходится, то она имеет ровно одну предельную точку (ее предел), и в этом случае = = .
Если ограниченная последовательность имеет конечное число предельных точек, то среди них, очевидно, есть наибольшая и наименьшая, то есть в этом случае последовательность имеет верхний и нижний пределы. Если же число предельных точек бесконечно, то существование верхнего и нижнего пределов не является очевидным.
Теорема 6.3. Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.
Доказательство: Пусть {xn} - ограниченная поледовательность. Обозначим через {a} множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани. Обозначим = Sup {a}, = inf {a}.
Достаточно доказать, что {a}, {a}. Проведем доказательство для .
Рассмотрим произвольную -окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .
По определению точной верхней грани, существует точка a {a}: a { -окрестности точки a}, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {xn}. Но { -окрестность точки a} {-окрестности точки }, тем самым, в -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности {xn}, а это и означает, что - предельная точка последовательности {xn}, то есть {a}.
Билет 12
Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.
В заключении рассмотрим вопрос критерия сходимости числовой последовательности.
Пусть т.е.: на ряду с натуральным числом можно подставить в последнее неравенство другое натуральное число ,тогда
Мы получили следующее утверждение:
Если последовательность сходится, выполняется условие Коши:
(5)
Числовая последовательность удовлетворяет условию Коши называется фундаментальной. Можно доказать, что и справедлива и обратное утверждение. Таким образом мы имеем критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости последовательности.
Критерий Коши.
Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, что бы она была фундаментальной.
Второй смысл критерия Коши. Члены последовательности и где n и m – любые неограниченно сближающиеся при .
БИЛЕТ 13
Односторонние пределы.
Определение 13.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа), если такое, что |f(x)-A|<ε при x0 – х < δ (х - х0 < δ).
Обозначения:
Теорема 13.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.
Доказательство.
1) Если , то и для x0 – х < δ, и для х - х0 < δ |f(x) - A|<ε, то есть
Если , то существует δ1: |f(x) - A| < ε при x0 – x < δ1 и δ2: |f(x) - A| < ε при х - х0 < δ2. Выбрав из чисел δ1 и δ2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана.
Замечание. Поскольку доказана эквивалентность требований, содержащихся в определении предела 13.7 и условия существования и равенства односторонних пределов, это условие можно считать вторым определением предела.
Определение 4 (по Гейне)
Число А называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.
Определение 4 (по Коши).
Число А называется если . Доказывается, что эти определения равносильны.
БИЛЕТ 14 и 15
Свойства предела ф-ции в точке
1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный
2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(xx0)f(x)=A
lim(xx0)g(x)B=> то тогда в этой т-ке предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.
а) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB
б) lim(xx0)(f(x)g(x))=AB
в) lim(xx0)(f(x):g(x))=A/B
г) lim(xx0)C=C
д) lim(xx0)Cf(x)=CA