Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей

Означення. Число яке дає кількісну оцінку можливості появи деякої події називають ймовірністю події.

Ймовірність події А позначають Р(А).

Існують декілька означень ймовірності: класичне, статистичне, геометричне.

1. Класичне означення ймовірності

Розглядаючи деяке випробування, мислено підраховують у ньому число всіх рівноможливих та попарно несумісних його результатів, які утворюють повну групу подій. Серед них виділяють таку кількість результатів випробування, які є сприятливими для деякої події А (N(A)=m).

Означення. Ймовірністю появи випадкової події А називають відношення числа результатів випробування, сприятливих для А – т, до числа всіх рівноможливих, єдиноможливих та попарно несумісних результатів випробування – п:

.

Задача 9. Знайти ймовірність того, що число очок, що випаде на гральному кубику при одному підкиданні, буде парним.

Розв’язання. Випробування – одне підкидання одного грального кубика, подія А – випадання парного числа очок.

Простір елементарних подій , де – поява одного очка, – поява двох очок і т.д., містить п=6 елементарних подій. Подія А = містить т=3 сприятливих для неї подій. За формулою одержимо: .

Відповідь: 0,5.

Властивості ймовірності

1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

У цьому випадку т = п , відповідно .

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

У цьому випадку т= 0, відповідно Р()= .

3. Ймовірність випадкової події А є додатнє число, що лежить у межах від нуля до одиниці, тобто 0≤ ≤1

Задача 10. В урні 15 білих і 10 чорних куль. З урни навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що

1. всі три кульки білі (подія А);

2. дві кулі білі і одна чорна (подія В).

Розв’язання. Випробування – поява з урни, що містить 25 кульок, трьох кульок.

1) Число всіх елементарних подій дорівнює числу комбінацій з 25 по 3, тобто . Знаходимо число сприятливих випадків для події А. Три білі кульки можна вибрати з 15 білих кульок способами. Отже, шукана ймовірність дорівнює

.

2) Аналогічно до пункту 1), . Знайдемо число сприятливих випадків. Дві білі кульки можна вибрати з 15 білих кульок способами, а одну чорну з десяти чорних – способами. За правилом множення одержимо т=k₂·k₁= . Тому маємо .

Відповідь: 1) 0,2; 2) 0,46.

3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.

Нехай проведено п незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може відбутися. Припустимо, що подія А відбулася т разів (т≤п).

Число називають відносною частотою події А і позначають  . Відносну частоту можна знайти тільки після проведення випробування. Спостереження показали, що при достатньо великій кількості випробувань п відносна частота проявляє властивість стабільності. Ця властивість полягає в тому, що відносні частоти при різних п відрізняються мало і коливаються біля деякого числа.

Означення. Стале число, навколо якого групуються відносні частоти при достатньо великих п, називається статистичною ймовірністю

Приклад. За даними української статистики відносна частота народження дівчаток у 1998 році помісячно характеризувалася такими числами: 0,486; 0,489; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Відносна частота коливається навколо числа 0,482, яке можна вважати наближеним значенням ймовірності народження дівчаток.