4.4.2 Фазовий простір. Густина станів

Стан частинки можна характеризувати трьома координатами і трьома проекціями імпульсу.

Простір, в якому задані шість перелічених координат, називається фазовим простором.

Фазовий простір характеризується об’ємом Г, що займає частинка (елемент об’єму фазового простору).

Для системи невзаємодіючих частинок потенціальна енергія дорівнює нулю. Тому Г_V=V – стала величина. Звідси .

Для мікрооб’єктів, таких, як електрон, Г має обмеження, зумовлене їх хвильовими властивостями. В квантовій статистиці прийнято , а звідси . Це - мінімальний об’єм в просторі імпульсів, який може займати частинка (об’єм елементарної фазової комірки в просторі імпульсів).

Для вільних не взаємодіючих частинок , де р – імпульс.

Всі значення імпульсів частинки в проміжку від р до р+dp для простору імпульсів, зображеному на рис. 4.2, являють собою шар, що має об’єм 4р²dp, тому

, (а)

. (б)

Поділивши вираз (а) на вираз (б) дістанемо кількість елементарних фазових комірок, тобто кількість станів, які має частинка в просторі імпульсів в інтервалі (р, р+dp)

. (1)

Перейдемо від кількості станів в просторі імпульсів до кількості станів як функції енергії в інтервалі енергій (Е, Е+dЕ)

1) ,

диференціюємо вираз для енергії вільних невзаємодіючих частинок ,

2) .

Після підстановок і замін отримаємо:

3) ,

,

. (2)

У випадку електронів в кожній фазовій комірці буде 2 електрони, що різняться напрямком спіна. Тому:

- для електронів (див. рис. 4.3, де представлена g(Е) при Т=0 К і Т>0 К),

- кількість електронів, які знаходяться в інтервалі енергій (Е, Е+dЕ)

(3)

кількість частинок в інтервалі енергій 0-Е.

4.4.3 Розрахунок концентрації електронів та енергії Фермі в металах при 0к

Для електронів в металах при Т=0 К залежність між концентрацією і енергією можна отримати, пам’ятаючи що всі рівні нижче рівня Фермі E_F при Т=0 К заповнені, а всі рівні вище рівня Фермі – пусті. Значить, .

Кількість електронів для даного випадку, як слідує з формул (2) і (3):

.

Відповідно концентрація ( )

. (4)

Знайдемо енергію Фермі для електронного газу в металах

, (5)

E_{F Cu}~7,1 eB, E_{F Na}~3,12 еВ.

4.4.4 Функція Фермі Дірака. Графік функції та аналіз

Вироджений електронний газ в металах описується за допомогою функції розподілу Фермі-Дірака , Е_F – енергія Фермі.

Функція Фермі-Дірака характерна для частинок, на які розповсюджується принцип Паулі, в той час як фонони і фотони не підпорядковуються принципу Паулі. Йому підпорядковані частинки з нецілочисловим спіном, до яких відносятьсять електрони, протони, нейтрони. Це – ферміони.

На рис. 4.4 представлена функція Фермі-Дірака при Т=0 К і T>0 К. При Т=0 К маємо:

Взагалі для будь-яких частинок

в інтервалі [Е, Е+dЕ], де n(E) – їх концентрація.

Із рис. 4.4 витікає означення:

Енергія Фермі – це максимальна енергія, яку можуть мати електрони в металах при 0 К.

Із підвищенням температури електрони під дією тепла переходять на більш високі енергетичні рівні, внаслідок чого змінюється їх розподіл по станах. Однак, в інтервалі температур, для яких енергія kT теплового руху набагато менша енергії Фермі E_F, від теплового збудження можуть переходити на рівні з енергією E>E_F тільки електрони вузької смуги KT, що безпосередньо знаходяться біля рівня E_F (див. рис. 4.4,б). Утворився “хвіст” і встановився новий розподіл електронів по станах. Сам “хвіст” описується класичним максвеловським розподілом. Електронний газ стає невиродженим, якщо f(E)<<1. Це неможливо в нормальному стані (тобто не у вигляді плазми) для металів, де концентрація вільних електронів дуже висока (~10²⁸ м^-3) і при кімнатній температурі (300 К) менше 1% електронів від загальної кількості електронів провідності збуджується.

Невироджений електронний газ маємо у власних і слаболегованих напівпровідниках, де концентрація відповідно 10¹⁶-10¹⁹ та 10²³-10²⁴ м^-3.