4.3 Фонони

Коливання кристалічної гратки можна представити як фононний газ, що знаходиться в границях кристалічного зразка, аналогічно тому як електромагнітне випромінювання можна уявити як фотонний газ, що заповнює порожнину.

З цієї точки зору нагрітий кристал нагадує скриню, заповнену фононним газом.

В залежності від ступеня збудження так званого нормального коливання, воно може породжувати певну кількість однакових фононів.

Нормальне коливання – це колективний рух у формі пружної хвилі, що охоплює всі частинки кристалу. Кількість нормальних коливань, що може виникнути в гратці, дорівнює кількості ступенів вільності частинок кристалу тобто 3N, де N – кількість частинок, які утворюють кристал. Звідси можна сказати, що:

Фонон – це квазічастинка, яка представляє собою квант звуку, є в кристалі елементарним носієм руху, або

Фонон – квазічастинка, що співставляється хвилі зміщень атомів (іонів) та молекул кристалу із положень рівноваги.

Фонони і фотони описуються однаковою функцією розподілу по енергіях: .

Енергія фонона , де _зв – частота звукових коливань.

Імпульс фонона , де с_зв – швидкість звуку, .

Ці формули подібні до тих, що описують фотони. Проте, фонони існують тільки в кристалах, тому це - квазічастинки.

Розрізняють в залежності від типу кристалічних граток, їх складності, фонони оптичні і теплові.

Теплоємність кристалічного твердого тіла практично співпадає із теплоємністю фононного газу, а теплопровідність кристалу можна описати як теплопровідність газу фононів.

4.4 Елементи фізичної статистики

4.4.1 Невироджені і вироджені колективи мікрочастинок. Повна статистична функція розподілу

Будь-яке тверде тіло – це система (колектив), що складається із великої кількості мікрочастинок. В таких системах проявляються специфічні закономірності, для вивчення яких застосовують класичну або квантову статистику. В залежності від особливостей частинок, що складають систему, розрізняють квантову статистику ферміонів і бозонів.

Припустимо, що на N однакових частинок припадає G станів, в яких може перебувати окрема мікрочастинка. Зрозуміло, що мікрочастинки будуть “рідко” між собою зустрічатись, якщо відношення . В таких умовах специфічний характер частинок (ферміони це, чи бозони) не буде проявлятись на властивостях колективу (системи). Якщо ж , то в залежності від типу частинок почне проявлятись характер заселення ними станів. Наприклад, ферміони, згідно принципу Паулі, займають кожен свій окремий стан. Бозони, навпаки, схильні до об’єднання, можуть заселяти необмежено один і той самий стан.

Колективи частинок, де і де проявляється специфіка частинок, називають виродженими. Вироджені колективи можуть утворюватись тільки із квантовомеханічних об’єктів, де параметри станів змінюються дискретно, і значить число G (число можливих станів) – може бути кінцевим. Невироджені колективи можуть утворювати як класичні, так і квантовомеханічні об’єкти. Треба, тільки щоб виконувалась умова: .

Щоб задати стан колективу (системи), треба знайти зв’язок між термодинамічними параметрами системи (хімічним потенціалом  і температурою Т) – та енергією частинок, що визначається їх координатами та імпульсом.

Цей зв’язок визначається повною статистичною функцією розподілу N_,Т(E)dE. Ця функція виражає кількість частинок з енергією від Е до Е+dE, в системі, що описана термодинамічними параметрами  і Т. Нагадаємо:

Хімічний потенціал ( ) – фізична величина, що чисельно рівна зміні енергії ізольованої системи сталого об’єму при зміні в ній кількості частинок на одиницю.

Статистична функція (позначається N(E)dE) дорівнює кількості станів g(E)dE, що припадає на інтервал енергій dE, помноженому на імовірність заповнення цих станів f(E). Тоді:

, f(E) – просто називають функцією розподілу. Вона виражає ймовірність заповнення частинками даних станів.

Таким чином, щоб знайти повну статистичну функцію розподілу частинок по станах, треба знайти вираз для густини станів і функцію імовірності їх заповнення f(E). Щоб знайти g(E), треба розглянути поняття фазового простору.