4.1 Кристалічна гратка. Індекси Міллера

Кристалічна гратка являє собою просторову сітку, у вузлах якої розміщені частинки (атоми, іони, молекули), що утворюють кристал.

Кристали поділяються на сім сингоній. Кожна сингонія відрізняється від іншої кількістю і видом елементів симетрії (наприклад, рис. 4.1, обертання навколо осі, відбивання в площині і т.д.).

Нагадаємо: симетрія – це здатність фігури співпадати з самою собою після проведення деяких операцій просторового переміщення.

Найбільш досконалою сингонією є кубічна сингонія^*.

Елементарна комірка – це найменша складова кристала (у вигляді певного паралелепіпеда), переміщенням якої можна побудувати весь кристал.

Анізотропія кристалів, причиною якої є строго впорядкована їх будова, приводить до необхідності введення певної системи позначень вузлових площин та напрямків в кристалах. Для цих позначень в даний час використовують так звані індекси Міллера.

Індекси Міллера – це найменші цілі числа h, k, l, обернені відрізкам u, , w, що відсікає атомна площина на координатних осях. . Якщо, наприклад, площина відсікає на координатних осях відрізки 1/2, 2/3 і 1, то індекси Міллера будуть 4, 3,2. Щоб їх отримати, треба було взяти обернені величини до відрізків і по множити їх на 2, щоб отримати цілі числа.

4.2 Теплоємність кристалів

4.2.1 Закон Дюлонга-Пті

Для ідеального газу молярна теплоємність при сталому тиску , де С_V – молярна теплоємність при сталому об’ємі, R – універсальна газова стала .

Для 1 –го кіломоля твердого тіла

- Закон Дюлонга-Пті.

Закон Дюлонга-Пті виконується тільки при відносно високих температурах (Т_Д). При низьких теплоємність кристалів зменшується прямуючи до нуля при наближенні температури до нуля. Причому цього класична теорія не пояснює^*.

4.2.2 Квантова теорія теплоємності

Ейнштейн запропонував розглядати кристал як систему, яка представляє собою 3N осциляторів, що коливаються з однаковою частотою , де N – кількість атомів в даному кристалі.

Енергія гармонічного осцилятора (див. п.3.10) може мати значення: ,

n=0,1,2,3…

Врахувавши розподіл осциляторів по станах з різною енергією та спрощення, прийняті Ейнштейном, можна одержати формулу внутрішньої енергії кристалу у вигляді: .

Поскільки , то після диференціювання маємо теплоємність кристалу:

.

Розглянемо два крайніх випадки:

1) (високі температури). Розкладаємо формулу в дужках в ряд і отримаємо:

( - наближена формула розкладу в ряд Маклорена, у нас , членами, вище 1-го порядку – знехтувано). В результаті: .

Для 1-го кіломоля ,

таким чином, ми прийшли до закону Дюлонга-Пті.

2) (низькі температури).

Формула для теплоємності при цій умові, нехтуючи одиницею в знаменнику, прийме вигляд .

Експонентний множник змінюється значно швидше, ніж Т². Тому при наближенні до абсолютного нуля весь вираз прямує до нуля практично по експоненті, що якісно відповідає експериментальним результатам.

Недоліком теорії Ейнштейна є те, що якісно пояснюючи температурну залежність теплоємності при низьких температурах, ця теорія не могла пояснити кількісно залежність теплоємності від температури, яка спостерігалась на експерименті (при T<_Д).

Дебай вдосконалив теорію Ейнштейна врахувавши, що осцилятори, у вигляді яких представляються коливання атома, є залежними між собою. Тому в кристалі існує їх набір із певними частотами _і. І внутрішня енергія . Із теорії Дебая отримали: С~T³ у відповідності до результаів експерименту із кристалами, для яких атоми зв’язані однаково із сусідами в усіх 3-х напрямках, поскільки модель Дебая – спрощене представлення твердого тіла у вигляді ізотропного пружного середовища.

Температура, при якій теплоємність вже не залежить від величини температури, визначається умовою , де _max – максимальна частота коливань атомів в системі (кристалі).