3.9 Електрон в потенціальному ящику

Розглянемо поведінку електрона в потенціальному ящику.

Ящик – це потенціальна яма з прямими стінками^*.

,

,

або

.

Позначимо . Із теорії коливань відомий розв’язок рівняння такого типу:

(0)=0  =0

.

Це можливо лише при умові l=n. Але

.

Значить,

,

.

Таким чином, із розв’язку рівняння Шредінгера випливає, що енергія електрона приймає дискретний ряд значень (квантується).

Різниця між енергетичними рівняннями залежить від розмірів ящика і маси частинок. Між сусідніми рівнями n+1 i n

.

Власні хвильові функції

представлені на рис. 3.7 для різних значень n. Як видно із рисунка, в стані з n=2 частинка не може бути посередині ящика. Разом з тим вона однаково часто буває як в лівій, так і правій половині ящика. Відмітимо, що по класичних уявленнях всі положення частинок в ящику рівно ймовірні.

3.10 Поняття про гармонійний осцилятор в квантовій механіці

Для класичного осцилятора (приклад – кулька на пружині) , а .

Потенціальна енергія осцилятора , де .

Рівняння Шредінгера для осцилятора має вигляд:

()

Значення енергії, при яких рівняння має розв’язок, називаються власними значеннями енергії.

Значення функції, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними значенням хвильової функції.

В теорії диференціальних рівнянь доведено, що рівняння () має однозначні і неперервні розв’язки, коли

,

n=0, 1, 2, 3…

На відміну від класичного осцилятора, квантова частинка, що коливається, (наприклад, атом), приймає дискретний ряд значень енергії і завжди відмінне від нуля. Це показує, що навіть при абсолютному нулі коливання атомів в кристалічній гратці не припиняються.

3.11 Тунельний ефект

По класичних представленнях частинка без перешкод проходить над бар’єром, якщо її енергія Е більша за висоту бар’єра. Якщо E<U, то частинка відбивається, через бар’єр вона не може пройти.

Тунельний ефект випливає із розв’язку рівняння Шредінгера. Він полягає в тому, що мікрочастинка, завдяки своїм хвильовим властивостям, може просочитися з певною ймовірністю через потенціальний бар’єр, висота якого більша за енергію частинки (рис. 3.9).

Ймовірність залежить від висоти бар’єра.

Тунельний ефект пояснює явище, що спостерігається при -розпаді.

На тунельному ефекті побудована робота тунельних діодів.

3.12 Задача про електрон в атомі водню. Квантові числа n, , m

Поскільки в стаціонарному стані

і - (потенціальна енергія електрона в атомі водню), то рівняння Шредінгера для атома водню має вигляд:

.

Розв’язок рівняння полегшується в сферичній системі координат: r, , .

1. При E>0, що відповідає електрону, який пролітає поблизу ядра, і летить в , розв’язок рівняння буде при будь-яких Е.

2. При E<0 розв’язок рівняння такий самий, як і в теорії Бора

.

Крім того, розв’язок рівняння Шредінгера для атома водню дає власні значення енергії, що є функцією n і показує, що хвильова функція має власні значення, які залежать від трьох квантових чисел n, , m: =_nlm(r, , ).

Взагалі стан електрона в будь-якому атомі характеризується чотирма квантовими числами.

Квантове число n – головне квантове число, визначає енергію електрона.

Азимутальне квантове число  - визначає момент імпульсу електрона.

Магнітне квантове число m – визначає напрямок переважаючої орієнтації орбіти електрона в просторі.

s – четверте квантове число – спін – особлива властивість частинки.

s=1/2, m=0, 1, 2…, =0,1,2,3…n-1, n=1,2,3…

Стани з однаковою енергією називаються виродженими. Число таких станів називається кратністю виродження (про виродження див. п. 4.4.1 та 4.6.2, 4.6.4).