Вариант № 5
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.
Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Найти площадь, ограниченную графиком функции
и прямыми:
,
.Координаты точек некоторой кривой связаны уравнением:
.
Найти уравнение этой кривой, если она
проходит через точку:
,
.
Вариант № 6
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Вычислить определенный интеграл:
.Задана скорость движения тела:
.
Составить
дифференциальное уравнение движения
и определить путь, пройденный за 2
секунды, если
.
Вариант № 7
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Вычислить определенный интеграл:
.Координаты точек некоторой кривой связаны уравнением:
.
Найти уравнение этой кривой, если она
проходит через точку:
,
.
Вариант № 8
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми:
и
Координаты точек некоторой кривой связаны уравнением:
.
Найти уравнение этой кривой, если она
проходит через точку:
,
.
Вариант № 9
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми:
и
Координаты точек некоторой кривой связаны уравнением:
.
Найти уравнение этой кривой, если она
проходит через точку:
,
.
Вариант № 10
Найти предел:
.Найти производную и дифференциал функции:
.Определить промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции:
.Вычислить интеграл:
.
Вычислить площадь, ограниченную кривыми:
и
Координаты точек некоторой кривой связаны уравнением:
.
Найти уравнение этой кривой, если она
проходит через точку:
,
.
Варианты контрольных работ по теории вероятности и математической статистике
ВАРИАНТ № 1
Задача 1. Студент два раза извлекает по одному варианту из 34 экзаменационных. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 вариантов, и первый вытянутый вариант студент не знал?
Задача 2. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность, что в пути изделие повредится, равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Задача 3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
Найти математическое ожидание величины X.
Задача 4. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости p = 0,05 проверить эффективность воздействия микроэлементов (фактор F) на скорость размножения бактерий определенного вида по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
В таблице представлен относительный уровень (в процентах) размножения бактерий по сравнению с уровнем размножения бактерий в контроле.
№ опыта |
F =1 |
F =2 |
F= 3 |
F= 4 |
1 |
70 |
80 |
85 |
90 |
2 |
75 |
85 |
90 |
95 |
3 |
80 |
90 |
95 |
100 |
Задача 5.
1.Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии для корреляционной зависимости массы M (в кг) животных от объема их тела V (в дм3) по данным, приведенным в таблице.
M\V |
4.0
|
4.2 |
4.4 |
4.6
|
4.8
|
5.0
|
5.2
|
5.5
|
5.0
|
4
|
2
|
|
|
|
|
|
|
5.2
|
2
|
4
|
5
|
|
|
|
|
|
5.5
|
|
4
|
5
|
4
|
|
|
|
|
5.8
|
|
|
4
|
6
|
4
|
|
|
|
6.0
|
|
|
|
2
|
4
|
6
|
2 |
|
6.5
|
|
|
|
|
2
|
8
|
4
|
2
|
6.8
|
|
|
|
|
|
2
|
8
|
4
|
2. По данным, приведенным в таблице, рассчитать величину выборочного коэффициента линейной корреляции между массой животных и объемом их тела.
3. При уровне значимости р =0,05 проверить значимость выборочного коэффициента линейной корреляции между массой животных и объемом их тела, рассчитанного по данным, приведенным в таблице.
ВАРИАНТ № 2
Задача 1. Пусть в группе из 10 человек четверо мужчин. Если случайным образом выбирают двух человек, то какова вероятность того, что это:
1) оба мужчины;
2) обе женщины;
3) один мужчина и одна женщина.
Задача 2. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит в среднем 100 опечаток. Найти вероятность того, что наугад взятые 20 страниц текста содержат:
1) хотя бы одну опечатку; 2) ровно две опечатки; 3) не менее двух опечаток.
Задача 3. Задан закон распределения случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины X.
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
P |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
Задача 4. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости р=0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов — температуры (фактор A) в 0С и фермента (фактор B) в условных единицах ( усл. ед.)на выход продукта биохимического синтеза по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
Задача 5.
1. В лабораторной работе с фотоколориметром изучается зависимость оптической плотности раствора от концентрации веществ. Результаты приведены в таблице. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии для корреляционной зависимости оптической плотности Y раствора от концентрации X растворенного вещества.
Y \ X
|
1,5
|
1,6
|
1,7
|
1,8
|
1,9
|
0,10
|
4
|
|
|
|
|
0,12
|
2
|
2
|
|
|
|
0,20
|
|
4
|
|
|
|
0,22
|
|
2
|
3
|
|
|
0,24
|
|
|
3
|
|
|
0,30
|
|
|
2
|
2
|
|
0,32
|
|
|
|
3
|
|
0,34
|
|
|
|
1
|
4
|
0,38
|
|
|
|
|
2
|
2. По данным, приведенным в таблице рассчитать величину выборочного коэффициента линейной корреляции между оптической плотностью раствора и концентрацией растворенного вещества.
3. При уровне значимости р = 0,05 проверить значимость выборочного коэффициента линейной корреляции между оптической плотностью раствора и концентрацией растворенного в нем вещества.
ВАРИАНТ № 3
Задача 1. Некоторая вакцина эффективна на 75 % в формировании иммунитета. Вакцинировали двух человек. Пусть А и В — события, состоящие в том, что соответственно первый и второй человек приобретает иммунитет. Найти вероятность того, что:
а) оба человека приобрели иммунитет;
б) первый приобрел иммунитет, а второй нет.
Задача 2. Найти закон распределения случайной величины X -- числа попаданий в цель при трёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию числа Х попаданий в цель при трёх выстрелах,.
Задача 3. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости р= 0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов—рН среды (фактор A) и концентрации лиганда (фактор В} на экстракцию комплекса металла с лигандом из водной в органическую фазу по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
Уровень А \Уровень В |
1 |
2 |
3 |
2 |
60 |
50 |
70 |
5 |
70 |
70 |
80 |
10 |
90 |
60 |
90 |
Задача 4. В результате проведенных пяти измерений частоты пульса у больного получены следующие значения: 70, 90, 100, 80, 90. При доверительной вероятности 0,95 найти интервальную оценку частоты пульса у больного.
Задача 5. Данные по динамике роста численности аптечных работников в районе
(в тысячах человек) за 10 последовательных лет приведены в таблице:
T |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
V |
20 |
22 |
23 |
24 |
26 |
28 |
30 |
32 |
34 |
36 |
1. Составить уравнение тренда для зависимости числа аптечных работников в городе от года в предположении ее линейности.
2. Используя результаты задания 1, оценить численность аптечных работников в городе на 11 -м году от начала наблюдений.
3. Методом скользящего среднего произвести сглаживание временного ряда, приведенного в условии задания. Использовать интервал усреднения, в который входили бы 2 последовательных года наблюдения.
ВАРИАНТ № 4
Задача 1. В урне 3 черных и 7 белых шаров. Наугад вынимается один шар (без возвращения), а затем второй. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.
Задача 2. При перевозке 1000 стеклянных колб вероятность разбить 1 колбу равна 0,002. Какова вероятность, что будут разбиты 4 колбы?
Задача 3. Дана плотность распределения вероятности:
Найти функцию F(x).
Задача 4. В таблице приведены результаты измерения массы лабораторного животного (в граммах), полученные последовательно в течение 12 дней.
m |
50 |
52 |
48 |
50 |
49 |
51 |
53 |
47 |
52 |
48 |
В предположении стационарности временного ряда, образуемого этими значениями, оценить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для этого ряда.
Задача 6. Данные по динамике роста численности аптечных работников в районе
(в сотнях человек) за 10 последовательных лет представлены в таблице:
T |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
V |
200 |
230 |
240 |
250 |
260 |
280 |
300 |
320 |
340 |
360 |
1. Составить уравнение тренда для зависимости числа аптечных работников в городе от года в предположении ее линейности.
2. Используя результаты задания 1, оценить численность аптечных работников в городе на 12-м году от начала наблюдений.
3. Методом скользящего среднего произвести сглаживание временного ряда, приведенного в условии задания. Использовать интервал усреднения, в который входили бы 3 последовательных года наблюдения.
ВАРИАНТ № 5
Задача 1. В клетке 6 белых и 4 серых мыши. Случайным образом извлекают 3 мыши. Вычислить вероятность извлечения мышей одного цвета.
Задача 2. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника четыре партии из пяти или семь из девяти?
Задача 3. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности:
Найти математическое ожидание величины Х.
Задача 4. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости р = 0,05 проверить эффективность воздействия лекарства (фактор F) на величину артериального давления
(в мм. рт. ст.) по результатам экспериментов, приведенных в таблице.
№ опыта |
F1= 30 |
F1= 60 |
F1= 100 |
F1= 150 |
1 |
180 |
160 |
140 |
120 |
2 |
200 |
170 |
150 |
130 |
3 |
170 |
150 |
130 |
110 |
Задача 5. Для выяснения эффективности применения некоторого препарата исследовали некоторый показатель жизнедеятельности у животных двух групп. Среднее значение этого показателя для 14 животных опытной группы (т.е. той группы, в которой применялся препарат) составило х = 6,0 при исправленной выборочной дисперсии sx2 =0,0100; Для 12 животных контрольной группы соответствующие показатели оказались равными у = 5,5 и sy2 =0,0144.
В предположении справедливости нормального закона распределения изучаемого показателя у животных как опытной, так и контрольной групп при уровне значимости р=0,05 определить:
а) значимо ли различаются найденные исправленные выборочные дисперсии sx2 и sy2 (при конкурирующей гипотезе, состоящей в утверждении о неравенстве соответствующих генеральных дисперсий);
б) значимо ли различаются между собой найденные средние значения изучаемого показателя для двух групп животных. Иными словами, позволяют ли проведенные исследования утверждать, что данный препарат действительно оказывает определенное воздействие на изучаемый показатель жизнедеятельности животных?
ВАРИАНТ № 6
Задача 1. На складе 15 кинескопов, из них 10 сделаны на Львовском заводе. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов 3 окажутся Львовского завода.
Задача 2. Среди семян ржи 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 500 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Задача 3. Случайная величина X задана функцией распределения:
Найти математическое ожидание и дисперсию величины х..
Задача 4. Статистическая обработка результатов анализа вещества на содержание некоторого компонента двумя различными методами показала следующее. В случае использования первого метода при анализе 6 образцов вещества получена средняя величина содержания компонента, равная x= 98,1, при исправленной выборочной дисперсии sx2 = 0,04; при анализе 8 образцов вторым методом соответствующие характеристики оказались равными y= 97,5 и sy2 =0,06. В предположении нормальности распределения величины содержания компонента при использовании каждого из этих двух методов анализа при уровне значимости р = 0,05 проверить:
а) значимо ли различаются найденные исправленные выборочные дисперсии sx2 и sy2 (при конкурирующей гипотезе, состоящей в утверждении о неравенстве соответствующих генеральных дисперсий);
б) значимо ли различаются между собой средние значения изучаемого компонента, полученные при использовании двух рассмотренных методов анализа. Иными словами, позволяют ли проведенные исследования утверждать, что результаты анализа зависят от используемого метода?
Задача 5. При изучении влияния некоторого препарата на массу животных получены следующие результаты: в группе ( n = 100) 45 животных увеличили свою массу, 20 – массу не изменили, а остальные уменьшили. При помощи критерия знаков выяснить, влияет ли препарат на массу животных.
Задача 6. Для четырёх измерений температуры больного получены следующие значения: 38.5, 38.1, 39.0, 38,8. При доверительной вероятности 0,95 найти интервальную оценку температуры больного.
ВАРИАНТ № 7
Задача 1. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.
Задача 2. Проведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.
Задача 3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения:
Задача 4. Данные по динамике роста численности аптечных работников в районе (в сотнях человек) за 10 последовательных лет представлены в таблице:
T |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
V |
200 |
230 |
240 |
250 |
260 |
280 |
300 |
320 |
340 |
360 |
1. Составить уравнение тренда для зависимости числа аптечных работников в городе от года в предположении ее линейности.
2. Используя результаты задания 1, оценить численность аптечных работников в городе на 12-м году от начала наблюдений.
3. Методом скользящего среднего произвести сглаживание временного ряда, приведенного в условиях задания 1. Использовать интервал усреднения, в который входили бы 3 последовательных года наблюдения.
Задача 5. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости p = 0,05 проверить эффективность воздействия микроэлементов (фактор F) на скорость размножения бактерий определенного вида по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
В таблице представлен относительный уровень (в процентах) размножения бактерий по сравнению с уровнем размножения бактерий в контроле.
№ опыта |
F =1 |
F =2 |
F= 3 |
F= 4 |
1 |
70 |
80 |
90 |
100 |
2 |
80 |
90 |
100 |
110 |
3 |
90 |
100 |
110 |
120 |
ВАРИАНТ № 8
Задача 1. В клетке 6 серых и 4 белых мыши. Наугад выбирают 3-х мышей. Найти вероятность того, что хотя бы одна серая.
Задача 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье: 1) пять мальчиков; 2) мальчиков не менее трех, но не более восьми.
Задача 3. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины x..
Задача 4. Данные по динамике роста товарооборота аптеки (в тысячах рублей) за 10 последовательных лет представлены в таблице
T |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
V |
8 |
10 |
14 |
14 |
18 |
24 |
26 |
30 |
34 |
36 |
1. Найти необходимые коэффициенты и составить уравнение тренда для зависимости товарооборота аптеки от года в предположении линейности этой зависимости.
2. Используя результаты расчётов по заданию 1 оценить товарооборот аптеки в 12 -м году от начала расчета.
3. Методом скользящего среднего произвести сглаживание временного ряда, приведенного в таблице. Использовать интервал усреднения, в который входили бы 2 последовательных года наблюдения. Результаты представить в таблице.
Задача 5. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости p = 0,05 проверить эффективность воздействия микроэлементов (фактор F) на скорость размножения бактерий определенного вида по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
В таблице представлен относительный уровень (в процентах) размножения бактерий по сравнению с уровнем размножения бактерий в контроле.
№ опыта |
F =1 |
F =2 |
F= 3 |
F= 4 |
1 |
70 |
80 |
85 |
90 |
2 |
75 |
85 |
90 |
95 |
3 |
80 |
90 |
95 |
100 |
ВАРИАНТ № 9
Задача 1. В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что:
1)три из них белые, а две коричневые; 2) все одного цвета.
Задача 2. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,3, а в девятку — 0,7. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.
Задача 3. Дана плотность распределения вероятности:
Найти математическое ожидание величины x и функцию распределения F(х).
Задача 4. В лабораторной работе с фотоколориметром изучается зависимость оптической плотности раствора от концентрации веществ. Результаты приведены в таблице.
1. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии для корреляционной зависимости оптической плотности Y раствора от концентрации X растворенного вещества.
Y / X |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
0,10 |
3 |
|
|
|
|
|
0,12 |
2 |
|
|
|
|
|
0,20 |
|
2 |
3 |
|
|
|
0,22 |
|
4 |
3 |
|
|
|
0,24 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
0,30 |
|
|
|
3 |
2 |
|
0,32 |
|
|
|
1 |
4 |
1 |
0,34 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0,36 |
|
|
|
|
|
2 |
2. По данным, приведенным в таблице рассчитать величину выборочного коэффициента линейной корреляции между оптической плотностью раствора и концентрацией растворенного вещества.
3. При уровне значимости р = 0,05 проверить значимость выборочного коэффициента линейной корреляции между оптической плотностью раствора и концентрацией растворенного в нем вещества.
Задача 5. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости р=0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов — температуры (фактор A) в 0С и фермента (фактор B) в условных единицах ( усл. ед.)на выход продукта биохимического синтеза по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
ВАРИАНТ № 10
Задача 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по теории вероятностей. Библиотекарь берет наугад 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы 1 учебник окажется по теории вероятностей.
Задача 2. Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровления составляет 98 %. Какова вероятность того, что: а) выздоровеют все шестеро; б) выздоровеют только пятеро?
Задача 3. Дана плотность распределения вероятности:
Найти функцию распределения вероятности F(x).
Задача 4.
1. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии для корреляционной зависимости массы M (в кг) животных от объема их тела V (в дм3) по данным, приведенным в таблице.
М\V
|
4.0
|
4.2 |
4.4 |
4.6
|
4.8
|
5.0
|
5.2
|
5.5
|
5.0
|
4
|
2
|
|
|
|
|
|
|
5.2
|
|
4
|
5
|
2
|
|
|
|
|
5.5
|
|
4
|
5
|
4
|
|
|
|
|
5.8
|
|
|
4
|
6
|
4
|
2
|
|
|
6.0
|
|
|
|
2
|
4
|
6
|
2
|
|
6.5
|
|
|
|
|
2
|
8
|
4
|
2
|
6.8
|
|
|
|
|
|
2
|
8
|
6
|
2. По данным, приведенным в таблице, рассчитать величину выборочного коэффициента линейной корреляции между массой животных и объемом их тела.
3. При уровне значимости р =0,05 проверить значимость выборочного коэффициента линейной корреляции между массой животных и объемом их тела, рассчитанного по данным, приведенным в таблице.
Задача 5. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости р= 0,05 проверить эффективность воздействия двух факторов—рН среды (фактор A) и концентрации лиганда (фактор В} на экстракцию комплекса металла с лигандом из водной в органическую фазу по результатам экспериментов, приведенным в таблице.
Уровень А \ Уровень В |
1 |
2 |
3 |
2 |
60 |
50 |
70 |
5 |
70 |
70 |
80 |
10 |
90 |
60 |
90 |