Способы решения обратной задачи электрических зондирований

Обратная задача электрических зондирований в общем случае является некорректно поставленной. Следовательно, для ее эффективного численного решения необходимо применение методов регуляризации.

Простейший и в то же время наиболее естественный способ регуляризации заключается в ограничении числа искомых параметров одномерного разреза и выборе таких характеристик модели, которые могут определяться по кривой ρ_к устойчивым образом. При такой постановке обратной задачи ищется по существу не строгое ее решение, а так называемое квазирешение, т.е. в заданном классе простых моделей разреза подбирается такая модель (квазирешение), которая лучше отвечает экспериментальным данным. К числу указанных способов относятся способ определения суммарной продольной проводимости разреза и палеточный способ интерпретации.

Определение суммарной продольной проводимости разреза s по асимптотике кривых ρк

В случае, когда в основании разреза лежит пласт высокого сопротивления, величина суммарной продольной проводимости S вышележащей толщи определяется по кривым зондирования устойчиво. Поэтому для разрезов такого типа целесообразно выбрать S как простейший основной параметр, определяемый по кривым ρ_к. Сама процедура нахождения S реализуется с помощью анализа асимптотического поведения кривых зондирования. В самом деле, правая ветвь кривой ρ_к с ростом r асимптотически стремится к прямой линии, наклоненной под углом 45° к оси абсцисс (кривая 2 на рисунке). Эта асимптота отсекает на горизонтальной оси разнос r_S, численно равный суммарной продольной проводимости S (в См). Указанное свойство кривых ρ_к и лежит в основе метода S-интерпретации данных электрических зондирований.

Палеточный способ интерпретации

Суть палеточного способа интерпретации заключается в том, что квазирешение обратной задачи ищется среди набора заранее рассчитанных теоретических кривых электрических зондирований, отвечающих одномерным разрезам с небольших числом слоев (как правило, N = 2 или N = 3). Наборы указанных кривых носят название палеток.

Палетки двуслойных кривых ВЭЗ.

В этом случае согласно

ρ_к( )/ρ₁ = f(β, , μ₂) = F( ,μ₂),

где μ₂ = ρ₂/ρ₁ - модуль двуслойного разреза; = r/d₁ - длина полуразноса r_AB/2, приведенная к мощности первого слоя.

При изображении кривой зондирования на билогарифмическом бланке имеем

l og ρ_к - log ρ₁ = log F(log r - log d₁,μ₂).

Форма кривой зондирования, построенной на билогарифмическом бланке при данном значении μ₂, не зависит от параметров первого слоя ρ₁ и d₁. Изменения ρ₁ и d₁ приводят лишь к смещению кривых зондирования вверх или вниз, вправо, или влево параллельно оси r или ρ_к. Следовательно, можно объединить кривые ВЭЗ всевозможных двуслойных разрезов в одно семейство кривых вида, где модуль μ₂ = ρ₂/ρ₁ выступает как параметр (шифр) кривых. Такое семейство кривых, изображенное на одном графике для заданного набора μ₂, носит название палетки двуслойных кривых.

В соответствии с асимптотическими свойствами кривых зондирований выполняются соотношения:

1. ρ₂/ρ₁ → 1 при r → 0;

2. ρ_к/ρ₁ → ρ₂/ρ₁ при r → ∞,

3. ρ_к → r/S при r → ∞, или ρ_к/ρ₁ → r/d₁ при r → ∞.

4. кривая с модулем μ₂ → ∞ стремится к биссектрисе первого квадранта билогарифмического бланка.

Палетки трехслойных кривых ВЭЗ.

Теоретическая формула для расчета трехслойных кривых ВЭЗ имеет следующий вид:

ρ_к/ρ₁ = f(β, , ν₂, μ₂, μ₃) = F( , ν₂, μ₂, μ₃).

где ν₂ = d₂/d_l, μ₂ = ρ₂/ρ₁, μ₃ = ρ₃/ρ₁, = r/d₁.

Форма кривой зондирования, изображенной на логарифмическом бланке, так же как и для двуслойного разреза, не зависит от параметров первого слоя ρ₁ и d_l. Графики функции F( , ν₂, μ₂, μ₃) при различных значениях параметров (модулей) ν₂, μ₂, μ₃ не могут быть изображены в виде одного семейства кривых. Для этого требуется построить несколько таких семейств, т. е. трехслойные кривые ВЭЗ образуют целый альбом палеток.

Рассчитаны и опубликованы альбомы палеток со следующими параметрами (шифрами палеток):

μ₂ = 1/39; 1/19; 1/9; 1/4; 3/7; 2/3; 3/2; 7/3; 4; 9; 19; 39;

μ₃ = 0; (ρ₂/ρ₁)²; (ρ₂/ρ₁)^3/2; (ρ₂/ρ₁)^1/2; l; ∞;

ν₂ = 1/9; 1/5; 1/3; 1/2; 1; 2; 3; 5; 9; 24.

В альбомах палеток используются различные принципы группирования трехслойных кривых. Наиболее распространены палетки, в которых кривые объединены в семейства, в каждом из которых параметры μ₂ и μ₃ фиксированы, а параметр ν₂ - меняется. Типичный пример такой палетки приведен на рисунке.

Рис. 7. Палетка трехслойных кривых ВЭЗ (ρ₂/ρ₁ = 1/9, ρ₃ = ρ₁, шифр кривых - ν₂ = d₂/d₁.

Имеются также наборы палеток, рассчитанные для многослойных разрезов (N = 4, N = 5). Однако на практике такие палетки применяются редко вследствие сложности подбора по ним экспериментальных кривых.

Палетки ВЭЗ совпадают с палетками теоретических кривых для дипольных азимутальных зондирований. Для дипольных установок другого типа имеются соответствующие альбомы кривых.

Палеточный способ интерпретации кривых электрического зондирования заключается в том, что с помощью альбома палеток подбирают такую теоретическую кривую зондирования, которая наилучшим образом описывает наблюденную кривую. При этом подбор ведется с учетом принципа эквивалентности. Например, для трехслойных кривых типа Н и А учитывается эквивалентность по S

ν₂/μ₂ = ν₂^//μ₂^/

а для трехслойных кривых типа К и Q – эквивалентность по Т: ν₂·μ₂ = ν₂^/·μ₂^/.

При подборе трехслойных разрезов учитывается, что по палеткам однозначно могут быть определены либо отношения параметров ν₂/μ₂, либо их произведения ν₂·μ₂. Для раздельного определения этих параметров нужна дополнительная информация.

Многослойные палетки на практике применяются редко. Методика палеточной интерпретации основана на аппроксимации многослойной кривой зондирования рядом трехслойных кривых (или их элементов), соответствующим образом сопряженных между собой.

На первом шаге интерпретации из наблюденной полевой кривой ρ_к выделяют ее левую трехслойную ветвь, отвечающую относительно небольшим разносом, и обрабатывают ее отдельно, считая, что в этом диапазоне разносов на величину ρ_к влияют лишь три первых слоя разреза. С помощью двуслойной палетки подбирают величины ρ₁ и d₁ первого слоя, а затем по трехслойным палеткам с учетом действия принципа эквивалентности находят параметры ν₂ и μ₂ палеточной кривой, а по ним ρ₂ = ρ₁μ₂ и d₂ = d₁ν₂.

На втором шаге интерпретации первые два слоя разреза заменяют одним эквивалентным слоем, параметры которого выбираются в зависимости от типа начального трехслойного разреза.

1. В разрезах типа Н преобладает горизонтальная составляющая плотности тока, поэтому в качестве эквивалентного выбирают слой, эквивалентный нескольким слоям (на начальном шаге интерпретации - первым двум) по S, т. е.

d_Э.Н = ,

ρ_Э.Н = ρ_l = d_Э.Н/S = / ,

где m = 2, 3, …. – число первых слоев, заменяемых на один эквивалентный.

2. В разрезах типа А ток растекается от источника как вдоль напластований, так и по нормали к ним, следовательно, на величину поля оказывает влияние как продольная проводимость, так и поперечное сопротивление горных пород. В связи с этим мощность и удельное электрическое сопротивление эффективного слоя вычисляют

d_Э.A = = = α_макро ;

ρ_Э.А = = = α_макро / ,

где α_макро - коэффициент макроанизотропии слоистого разреза, определяемый α_макро = = /D, D – мощность всей пачки слоев.

4. В разрезах типа К и Q также необходимо учитывать эффекты макроанизотропии, которые проявляются здесь несколько иначе, чем в случае А, что находит отражение в появлении дополнительных множителей ε₁, ε₂, δ при вычислении эффективных параметров. Множители ε₁, ε₂, δ определены эмпирическим путем и зависят от соотношений параметров разреза:

d_Э.К = ε₁α_макро ;

ρ_Э.К = ε₂α_макро / ;

d_Э.Q = δ ;

ρ_Э.Q = δ / .

Итак, заменяя первые два слоя одним эквивалентным с параметрами d_э, ρ_э и предполагая, что разносы r таковы, что поле проникает ниже эквивалентного слоя не глубже, чем в следующие два слоя, опять интерпретируют выделенную трехслойную ветвь кривой по трехслойным палеткам. Определяют ν₃ = d₃/d_э и μ₃ = ρ₃/ρ_э, где d₃ и ρ₃ - искомые параметры третьего слоя. Теперь мы можем объединить первые три слоя в один эквивалентный слой. Таким образом, удается последовательно определить параметры ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, . . . , ρ_N-1, d_N-1, ρ_N разреза.

Палеточный способ интерпретации представляет собой одну из разновидностей метода подбора. При этом регуляризация решения обратной задачи достигается, во-первых, за счет ограничения числа подбираемых параметров на каждом шаге интерпретации, а во-вторых, за счет визуального сглаживания экспериментальной кривой зондирования интерпретатором в процессе подбора.