Поле в двумерно-неоднородных средах; понятие е- и н-поляризации поля

Рассмот­рим двумерные геоэлектрические модели, в которых свойства среды не меняются вдоль оси Y. Предположим также, что плотность сторонних магнитосферно-ионосферных токов также постоянна по Y. Таким образом, электромагнитное поле в данной модели также является двумерным, т. е. не меняется вдоль оси Y.

Упростим первые два уравнения Максвелла

rot = σ + ,

rot = iωμ₀ .

для двумерных полей. Учитывая, что все производные по Y в данном случае обращаются в нуль, уравнения Максвелла в скалярной форме можно переписать:

- = σE_x + ; (4.14a)

- = σE_y + ; (4.14б)

= σE_z + ; (4.14в)

- = iωμ₀H_x; (4.15a)

- = iωμ₀H_y; (4.15б)

= iωμ₀H_z, (4.15в)

где σ = σ(х, z) - произвольная функция координат в плоскости XZ.

Отметим, что в уравнения (4.14а), (4.14в) и (4.15б) входят только компоненты Е_х, Н_у, Е_z, а в (4.14б), (4.15а) и (4.15в) - компоненты Н_х, Е_у, H_z. Следовательно, полная система уравнений Максвелла распадается на две независимые системы:

- = σE_x + ; (4.16a)

- = iωμ₀H_y; (4.16б)

= σE_z + ; (4.16в)

- = iωμ₀H_x; (4.17a)

- = σE_y + ; (4.17б)

= iωμ₀H_z, (4.17в)

Введем следующие обозначения:

= (E_x, 0, E_z), = (0, H_y, 0), (4.18)

= (0, E_y, 0), = (H_x, 0, H_z), (4.19)

Поле , называется H - поляризованным полем,

поскольку магнитное поле имеет лишь одну отличающуюся от нуля компоненту Н_у, т. е. всегда линейно поляризовано по оси Y.

Поле , называется Е - поляризован­ным полем, поскольку электрическая компонента этого поля всегда линейно, поляризована по оси Y. Очевидно, что уравнения (4.16) являются уравнениями H - поляризованного поля, а (4.17) - уравнениями E - поляризованного поля. Поскольку эти уравнения никак не связаны между собой, то можно сделать вывод, что в двумерной ситуации полное электромагнитное поле распадается на сумму H- и E - поляризованных полей, распространяющихся в среде независимо друг от друга:

= + , = + .

Следовательно, задача изучения двумерных полей сводится к от­дельному решению двух задач: для случая E - поляризации и для случая H - поляризации. Решение последних задач намного проще, чем решение полной системы уравнений Максвелла, поскольку Е- и H - поляризованные поля могут быть определены по одной скалярной функции (Е_у или Н_у), удовлетворяющей соответствующему дифференциальному уравнению в частных произ­водных.

Рассмотрим сначала случай Е - поляризации (4.17).

+ k²E_y = -iωμ₀ , (4.20)

где = + - двумерный оператор Лапласа; k² = k² (х, z) = iωμ₀σ(x, z).

Таким образом, y -компонента электрического поля при E - поляризации удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца с переменным волновым числом k(x, z). Магнитные компоненты поля в этом случае находятся путем простого дифференцирования Е_у.

В случае H - поляризации (вне области Q)

+ + H_y = 0. (4.21)

Электрические компоненты Е_х и Е_z определяются после решения (4.21) по Н_y с помощью дифференцирования в соответствии с формулами (4.16а) и (4.16в).