Низкочастотная асимптотика импеданса для разрезов с плохо проводящим основанием

Пусть плоская электромаг­нитная волна распространяется в двуслойном геоэлектрическом разрезе с параметрами σ₁, d_l, σ₂ = 0. Выражение для импеданса Z в соответствии с (1.24) и (1.21а) записывается

Z = R₂ = cth(-ik₁d₁ + arcth ). (1.25)

Причем, поскольку

k = ,

arcth = arcth = = = → 0 (1.26)

при σ₂ → 0.

Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Z = cth(-ik₁d₁). (1.27)

Устремляя в (1.27) частоту ω к нулю (а следовательно, и волновое число k₁ → 0), с учетом асимптотики arcth ~ x при x → 0, получаем

Z = = , (1.28)

где S₁ = σ₁d₁ - продольная проводимость первого слоя.

Для трехслойного разреза с параметрами σ₁, d_l, σ₂, d₂, σ₃ = 0 на основании (1.24) и (1.21а), очевидно, имеем

Z = R₃ = cth(-ik₁d₁ + arcth( cth(-ik₂d₂))), (1.29)

где учтено, что arcth → 0, при σ₃ → 0.

Устремляя в (1.29) ω → 0 (следовательно, k₁ →0 и k₂ →0) и учитывая асимптотическую формулу arcth ~ x при x → 0, записываем

Z cth(-ik₁d₁- ) = = , (1.30)

где S = S₁ + S₂ = σ₁d₁ + σ₂d₂ - суммарная продольная проводимость двух проводящих пластов разреза.

С помощью метода математической индукции полученный результат легко распространяется на N – слойный разрез (при σ_N = 0):

Z , (1.31)

S = σ₁d₁ + σ₂d₂ +… σ_N-1d_N-1 - суммарная продоль­ная проводимость всех проводящих слоев разреза.

Формула (1.31) показывает, что на достаточно низких частотах импеданс определяется лишь параметром S разреза.

Низкочастотная асимптотика импеданса для разрезов с хорошо проводящим основанием

Рассмотрим двуслойный разрез с параметрами σ₁, d_l, σ₂ = ∞. Вы­ражение для импеданса запишем с помощью (1.24) и (1.21б):

Z = R₂ = th(-ik₁d₁ + arth ). (1.32)

Очевидно, что в данном случае

arth = arth = = → 0 при σ₂ → ∞.

Следовательно, формула (1.32) принимает вид

Z = th(-ik₁d₁).

Устремляя в последнем выражении ω → 0 и учитывая arth ~ x при x → 0, находим

Z (-ik₁d₁) = iωμ₀d₁, (1.33)

т. е. импеданс не зависит от удельного электрического сопротивления первого слоя, а определяется только его мощностью.

Для трехслойного разреза импеданс

Z = th(-ik₁d₁ + arth( th(-ik₂d₂))), (1.34)

где учтено, что σ₃ = ∞.

Низкочастотная асимптотика выражения (1.34) ввиду arth х ~ x при x → 0 имеет вид

Z th(-ik₁d₁+arth(-ik₁d₂)) th(-ik₁d₁-ik₁d₂) = = - . (1.35)

Откуда

Z - ( ik₁(d₁ +d₂)) = -iωμ₀D, (1.35a)

где D = d₁ + d₂ - глубина залегания кровли идеально проводя­щего третьего слоя.

Обобщая полученный результат по методу математической ин­дукции на N - слойный разрез, находим

Z + -iωμ₀D, (1.36)

где D = d₁ + d₂ + . . . + d_N-1 - глубина залегания кровли иде­ального проводника.

Таким образом, в данной модели импеданс на низких частотах не зависит от удельных электрических сопротивлений слоев, а определяется лишь глубиной залегания хорошо проводящего основания разреза.