2.6. Введение в плотностную ρn-мерности

Пространственное расположение фигур и расстояния между ними описываются в современной геометрии в основном методами координат, и в частности декарто­вых. Три взаимноортоганальные координатные оси обу­словливают возможность привязки к их пересечению всех точек пространства. Метод базируется на посту­лировании независимости и равнозначности каждой координатной оси, а их общее количество как бы отображает трехмерность реального пространства. И остается под вопросом возможность существования большего количества мерностей. Однако, как уже упо­миналось, это не мешает математикам оперировать с любым количеством мерностей. Основа этих п-мерных операций заложена в постулате Римана о многократно протяженных величинах. Им, вслед за Декартом, по­стулируется, что все координатные оси равнозначны и каждое сверхтрехмерное измерение является само­стоятельной мерностью, не связанной ни со свойст­вами пространства, ни со свойствами тел.

Но природа едина, не излишествует свойствами, обла­дающими «свободной волей», и поэтому надо искать в отображениях ее образований подсказку того, как и в чем проявляет себя пространственная n-мерность. За геометрической подсказкой снова обратимся к евклидо­вой геометрии.

Одной из наиболее известных теорем этой геометрии, как неоднократно подчеркивалось, является теорема Пифагора. В ней утверждается, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Это знали еще древние египтяне, а прямо­угольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 служил ос­новой построения прямого угла на плоскости и носит название священного египетского треугольника.

Теорема проста, и ее изучение в школе сопровождает­ся иллюстративным доказательством справедливости посредством построения на каждой стороне треугольни­ка квадрата. Если теперь площади квадратов сложить, то они оказываются равными площади квадрата гипоте­нузы:

а² + b² = с². (2.15)

В аналитической геометрии уравнение (2.15) путем деления левой части на правую превращается в уравне­ние окружности на плоскости:

а²/с² + b²/с² = 1. (2.16)

Особенность уравнения (2.15) в том, что подстановка в его левую часть вместо индексов а и b квадратов по­следовательности чисел 3 и 4 приводит к получению квадрата следующего числа ряда 5. Существует еще од­но аналогичное (2.15) суммирование, но уже не квадра­тов сторон, а их кубов:

а³ + b³ + с³ = d³. (2.17)

И в этом уравнении сумма кубов, построенных на длинах последовательного числового ряда египетского треугольника а = 3; b = 4; с = 5, равна кубу длины сле­дующего числа ряда  6. Поскольку кубы образуются на базе метрического числового ряда, то сумма их, равная кубу последующего числа, смотрится как некоторая случайность. Но два уравнения, подчиняющиеся одина­ковой последовательности (2.15) и (2.17), образоваться случайно уже не могут. Они — следствие непознанной закономерности.

Логика геометрических построений подсказывает, что на этом ряд степенного суммирования не заканчивается и следует ожидать его продолжения добавлением к уравнению (2.17) очередной цифры числового ряда, а к показателю степени — очередной единицы.

а⁴ + b⁴+с⁴ + d⁴ = е⁴. (2.18)

Но, увы, левая сумма неравенства (2.18) не равна чет­вертой степени очередного числа. И на этом ряд урав­нений как бы прерывается. Однако остается вопрос: почему он прерывается? Вопрос важен и потому, что со временем уравнение (2.15) стало геометрическим анало­гом двумерного пространства, а подобное ему по струк­туре уравнение (2.17) аналогом трехмерного простран­ства. И не может ли неравенство (2.18) оказаться некоторым аналогом пространства четырехмерного?

Рассмотрим этот проблематичный ряд несколько с иной позиции. Уравнение (2.16) подсказывает, что в египетском треугольнике может быть зашифрована не сумма квадратов катетов, а сумма площадей некоторых окружностей, имеющих радиусом модуль чисел египет­ского треугольника. И это достаточно просто показать, превратив уравнение (2.15) из суммы квадратов в сумму площадей окружностей, добавив в качестве сомножите­ля каждого члена π:

πa² + πb² = πc². (2.19)

Из (2.19) следует, что мы действительно складываем площади двумерных окружностей. И сумма двух пло­щадей, образуемых радиусами числовой последователь­ности 3, 4, составляет площадь окружности с радиусом 5. Если считать, что стороны египетского треугольника являются радиусами некоторых окружностей, то на их базе можно построить три взаимно пересекающиеся ок­ружности. На рис.18 приведен один из вариантов такого построения. Взаимное расположение окружностей по координатным осям как бы показывает, что метричность двумерного пространства не меняется при любом поло­жении плоскости окружностей в нем. Эту неизменность и демонстрирует ра­венство суммы площа­дей двух меньших ок­ружностей — большей.

Переходя теперь к уравнению (2.17), мож­но отметить, что и его достаточно просто можно превратить в сумму, но уже не площадей окружностей, а объемов сфер на базе радиусов того же последо-

вательного ряда чисел

умножением каждого члена Рис. 18 уравнения на коэф­фици-ент 4/3π:

4/3πа³ + 4/3πb³ + 4/3πс³ = 4/3πd³. (2.20)

Уравнение (2.20), хотя и аналогично уравнению (2.17) и следует из него, являет совершенно иной физический смысл. Оно показывает, что в трехмерном пространстве три радиуса любой области одной числовой последова­тельности а, b, с образуют сферы-шары, суммарный объем которых равен объему четвертой сферы-шара с радиусом d из той же числовой последовательности.

Таким образом, последовательность уравнений (2.19) и (2.20) демонстрирует однородность и изотропность двумерной и трехмерной части пространства. И эта од­нородность прерывается на неравенстве (2.18) либо потому, что мир трехмерен, либо потому, что переход в более высокие измерения сопровождается изменением плотностной метричности пространства, а, следова­тельно, и изменением количественной величины коэф­фициента π. В этом случае уравнение последо­вательности (2.20) запишется следующим образом:

4/3πа4 + 4/3πb⁴ + 4/3πс⁴ + 4/3πd4 = 4/3π_ее⁴. (2.21)

Если считать, что каждое слагаемое имеет собствен­ное числовое значение, соответствующее n-мерности, то логика последователь-ности может быть показана по­строением пространственного мерного ряда уравнений (табл. 3).

Предположим, что:

а  индекс какого-то числа натурального ряда или аб­страктное числовое обозначение длины, не связанной с плотностной мерностью;

а¹  длина одномерного луча;

аⁿ, bⁿ, сⁿ,...,kⁿ  длины лучей, у которых показатель степени соответствует мерности пространства.

Мерность пространства Уравнения

Безмерное (абстракция) а

Одномерное а¹ = b¹

Двумерное а² + b² = с²

Трехмерное а³ + b³ + с³ = d³ (2.22)

Четырехмерное а⁴ + b⁴ + с⁴ + d⁴ = е⁴

Пятимерное а⁵ + b⁵ + с⁵ + d⁵ + е⁵ = f ⁵

… … … … … … … … … … …

n – мерное аⁿ + bⁿ + сⁿ + dⁿ + еⁿ + ...= kⁿ

Таблица 3

Этот ряд:

• логически последователен;

• свидетельствует о том, что пространство много­мерно, а количество членов левой части уравнений и чи­словое значение степени при них соответствует номе­ру мерности;

• показывает, что координатные оси равнозначны. Каждая ось многомерного пространства связана со всеми остальными;

• что существуют ортогональные и неортогональ­ные координатные оси;

• двух- и трехмерная ортогональность обусловлива­ет некоторую стабильность метричности, которая следует из уравнений (2.19) и (2.20).

Отметим еще раз, что левая часть уравнений (2.22), —суммируемое количество степенных осей-лучей, как и показатель степени при них, соответствует мерности рассматриваемого пространства, и потому переход от кубичности длин к n-мерности суммируемых сфер-шаров происходит умножением трехмерных длин на ко­эффициент 4/3π₂, а всех последующих на 4/3π_n-2. И в модифицированных уравнениях сумма мерных величин будет приводиться к следующему виду:

4/3πаⁿ + 4/3πbⁿ + 4/3πсⁿ + … + 4/3πkⁿ = 4/3π_n-2lⁿ. (2.23)

Из уравнения (2.23) следует, что его левая часть есть Определенная числовая последовательность объемного, для данной мерности, типа. И, в первом приближении, постулируется, что коэффициенты 4/3 и π остаются не­изменными в трех мерностях. А каждый прибавленный член последующей мерности находится из решения пре­дыдущего уравнения. Он-то и определяет степень плотностной деформации пространства в данной мерно­сти и в систему суммирования левой части входит в недеформированном виде как натуральный член числово­го ряда.

Однако в современной геометрии недеформированное π постулируется неизменным коэффициентом, кото­рый количественно равен числу 3,14159... остается, как полагают, неизменным не только в трехмерном евкли­довом пространстве и при описании плоскостей этого пространства, но и при описании объемных простран­ственных мерностей.

Думается, что здесь мы имеем дело с другими факто­рами. Обратим внимание на то, что одномерное про­странство — линия  не имеет никакого пространст­венного коэффициента. Это и понятно — она ничего не образует и потому для нее π₁ = 1. Но вот круг — пло­ская фигура, качественно отличающаяся от линии, и образование круга на плоскости сопровождается появ­лением иррационального коэффициента π₂ = 3,14159.... единого для окружностей любых недеформированных плоскостей. Переход от плоскости к пространству сопровождается новым изменением коэффициента свя­занного с окружностью. Безразмерный коэффициент π₂ умножается на такой же безразмерный, но уже ирра­циональный коэффициент 4/3 = 1,333333... и в этой связке употребляется во всех расчетах. Но правильно ли такое понимание объемности? Не имеем ли мы дело с другим безразмерностным, иррациональным объемным ко­эффициентом, равном 4/3π₂ = π₃ = 4,18879... . И не свидетельствует ли этот объемный коэффициент 4,18879... о том, что существует определенное измене­ние качества при переходе от плоскостных фигур к объемным. То есть каждое изменение пространствен­ной мерности сопровождается изменением безраз­мерностного пространственного коэффици-ента π, к тому же образующиеся в точечных местах координатные оси не равнозначны (метрически), скорее они отра­жают изменение плотности пространства ρ, а не возникновение новых координатных осей (мерностей) [35]. Отметим такую возможность и проведем расчеты па выявлению плотностной мерности пространства учитывая, что степень деформации определяется числом π_n-2 и индивидуальна для каждого π при п > 2.

Проведем, используя в качестве примера, параметры чисел египетского треугольника, расчет для четырех- и пятимерного пространства:

4/3π(а⁴ + b⁴ + с⁴ + d⁴) = 4/3π₄е⁴₄. (2.24)

где; е₄ – количественная величина радиуса четырехмер­ного объемного образования, равного сумме объемов левой части уравнения; π₄ – коэффициент отношения окружности к диаметру в четырехмерном пространстве. Имеем:

а⁴ + b⁴ + с⁴ + d⁴ = π₄е⁴₄ /π, (2.25)

Поскольку очередной член числового ряда е = 7, то

е⁴ = πе⁴/π₃. (2.26)

Подставляя значение е⁴ из (2.26) в (2.24), имеем:

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴: (2.27)

Перейдем к числовой записи:

3⁴ + 4⁴ + 5⁴ + 6⁴ = е⁴.

Решая уравнение (2.27), получаем, что е = 6,8933604..., и находим значение π₄:

π₄ = е⁴π/е⁴₁ = 3,3405509,

где π₄ – коэффициент четырехмерности. Для нахожде­ния коэффициента пятимерности π₅ продублируем уравнение (2.24) для пяти членов в левой части:

4/3π (а⁵ + b⁵ + с⁵ + d⁵ + е⁵) = 4/3π⁵f⁵.

Приравнивая правую часть

f⁵ = πf⁵/π⁵,

имеем следующее числовое уравнение:

3⁵ + 4⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 7⁵ = f₅⁵.

Определяем величину пятимерного радиуса f₅ = 7,8055712 и по нему находим π₅:

π⁵ = f⁵π/f⁵₁ = 3,55284.

Аналогичным образом можно получить π_n любой плотностной мерности.

Уравнение плотностной пространственной размерно­сти (2.22), начинающееся в числовом отображений с цифры 3, может начинаться и с базисной 1 (что одно и то же). В этом случае оно имеет следующую ρ_n – мерную числовую последовательность:

1 = 1,

1² + 1,333²... = 1,666²..., (2.22')

1³ + 1,333³ + 1,666³ = 2³...и т.д.

Где 1,333... и 2 – коэффициенты трехмерности, такие же, как π для двухмерности. И, следовательно, встречающиеся во многих уравнениях цифра 2, рассматри­ваемая как удвоение, может в отдельных конкретных случаях играть роль неявного индекса трехмерности, так же как и 4/3 = 1,333... . И, возможно, коэффициенты многомерности образуются именно набором чисел, вхо­дящих в уравнения (2.22), (2.22').

Таким образом, обращение к основам геометрии Евк­лида позволило нам перейти от трехмерной плотности пространства к плотности многомерной. Но в данном случае многомерность не является дополнительными размерностями к трем существующим. Числа, члены матричных уравнений, отображая различную плотностную мерность, остаются взаимосвязанными объе­мами одного пространства, различные точки которого имеют неодинаковую пространственную плотность. Последние и сравниваются с плотностью точек, входя­щих в квантованные уравнения посредством простран­ственных коэффициентов π_п. Они, похоже, отличают плотностную деформированность различных областей пространства, приводя ее к некоей одной деформиро-ванности при использования пространственных коэф­фициентов, своих для каждой его точки.

Как следствие того, что изменение пространственной мерности сопровождается не увеличением количества координатных осей, а изменением плотности той облас­ти, которая рассматривается и может служить как раз­личная количественная величина π, отображающая плотностную деформацию соответствующего п –мерно­го пространства. Поскольку на сегодняшний день и фи­зики и математики исходят из неизменности π, то поко­лебать эту убежденность может только конкретные доказательства истинности новых значений π, напри­мер, посредством образования с новыми π количествен­ной величины некоторых известных в физике безраз­мерных коэффициентов. Именно такую операцию еще четверть века тому назад предлагал П. Дирак [36] для вычисления самой фундаментальной константы кванто­вой механики — постоянной тонкой структуры α. При­веду дословно его высказывание:

«Одна из них — величина, обратная знаменитой посто­янной тонкой структуры hс/2πе². Она является фунда­ментальной константой в атомной физике и приблизи­тельно равна 137. Другая безразмерная постоянная определяется отношением массы протона к массе элек­трона т_р/т_е составляет около 1840, Удовлетворительного объяснения этих чисел пока нет, но физики наде­яться, что в конце концов оно будет найдено. Тогда при­веденные постоянные вычислялись бы с помощью ос­новных математических уравнений; вполне вероятно, что подобные постоянные составлены из простых ве­личин типа 4» (курсив мой. — А.Ч.).

Это предположение было высказано П. Дираком чет­верть века назад. Но и до сих пор многочисленные по­пытки вычисления этих констант с использованием трехмерного π не привели к желаемому результату. Применение плотностных n-мерных π, похоже, позво­ляет приблизиться к решению проблемы. Прежде чем приступать к качественному расчету, попробуем представить, какими величинами «оперирует» природа при построении плоскостей и объемов. Расстояния, плоскости и объемы в природе отсутствуют. Все эти понятия придуманы человеком для облегчения восприятия и описания окружающего мира. В природе имеются только волновые взаимодействия и ве­щественная среда тел, обусловливающая данные взаимодействия. И эти целостные взаимодействия мы, для получения необходимых результатов, вынуждены расчленять и интегрировать самыми разными способами, не имея даже представления о том, корректно ли производятся эти операции. Не исключено, что длину окружности, как и объем шара «правильнее» получать не как произведение 2π на квадрат или куб радиуса; а как некое rή где ή = √π. То есть пространственный коэф­фициент π в природе не возрастает (и, соответствен­но, не уменьшается), а изменяется в степенной пропорции. В этом случае нахождение постоянной тон­кой структуры α формализовать достаточно просто ис­ходя из того, что трехмерность равна плоскому π, ум­ноженному на пространственный коэффициент трех­мерности Λ = 1,33333...: π₃ = Λπ

Тогда один из вариантов получения α:

α = 4²(√πΛ)= 137,168

Можно полагать, что а = 137,168 – есть некая грань-сфера между трехмерной и четырехмерной плотностью пространства. Причем количественная величина α явля­ется «плавающей» характери-стикой, зависящей и от свойств атома, и от свойств элементарной частицы, пре­одолевающей эту сферу (например, для электрона водо­рода граница близка к 137, а урана к 137,16). Для про­странств различных атомов она, вероятно, варьируется от 137,000 до 137,168 и непреодолима для элементарных частиц без изменения их качества. Она свидетельствует, например, о том, что электрон является трехмерной час­тицей и, «преодолевая» грань-сферу трехмерность-четырехмерность, «разваливается» на два четырехмер­ных кванта, а фотон, в свою очередь, частица четырех­мерная и потому практически не реагирует на воздейст­вие электромагнитных полей трехмерного мира. Преодолевая сферический барьер четырехмерность-трехмерность, он тоже «разваливается» на трехмерные электрон и позитрон.

Основываясь на разделении пространства по плотно­стям, можно показать, что размер, известный как клас­сический радиус электрона l; l = е²/mс², есть, по-видимому, расстояние от центра ядра атома до границы перехода из третьего измерения в четвертое, т.е. в об­ласть, в которой электрон достигает световой скорости и стоит на «пороге» перехода в четвертое измерение (фотон, находящийся за этой границей, движется все­гда со световой скоростью). Определим инвариант ско­рости электрона на боровской орбите:

аv² = 2,53·10⁸, (2.27')

и посмотрим, на каком расстоянии l от центра ядра ско­рость электрона будет равна скорости света. Подставим в инвариант (2.27') вместо v скорость с и получим l:

l = 2,53·10⁸/с² = 2,814·10^-13 см,

именно это расстояние и принимается за классический радиус электрона.

По современным представлениям размеры ядер ато­мов находятся в пределах 10^-13 см. Но из данного расчё­та следует, что l – не классический радиус электрона и не размер ядра, а граничная сфера между четвертой и пятой плотностной мерностью пространства атома и, следовательно, границу поверхности ядра надо отодви­нуть как минимум на два-пять порядков. (В.К. Словен­ских теоретически показал [37], что радиус ядер эле­ментов таблицы Менделеева находится в пределах 8,510^-14 ÷ 2,310^-14, однако более вероятно, что радиусы ядер находятся в пределах 2·10^-15 см.)

Перейдем к рассмотрению другого коэффициента – 1840, не имеющего индексации. Обозначим его в дан­ной работе через α', и, рассуждая аналогично предыду­щему случаю, приходим к выводу, что по своей величи­не он должен отражать плотность, находящуюся ближе к поверхности ядра, чем α (не исключено, что к поверх­ности ядра эфирного атома — псевдоатома, или плот­ность самого ядра). Скорее всего, эта сферическая по­верхность является гранью между четвертым и пятым плотностным измерением. Если предположить, что ко­эффициент трехмерности 1,3333... содержат все объемные π_n, то плотностные расчеты можно производить без коэффи­циента трехмерности. Находим α' как границу четверто­го измерения при π₄ = 3,34055.... Формула очень проста и потому несколько сомнительна, хотя результат доста­точно правдоподобен:

α' = 4α'π₄ = 1831,11.

Сразу получаем величину, очень близкую к искомой. Но есть, по-видимому, более корректный результат по π₅:

α' = 4αΛ²√π₅ = 1838.

Можно ли довериться тому обстоятельству, что в обеих формулах присутствует постоянная тонкой структуры α и коэффициент 4, как это и предполагал П. Дирак. К то­му же если α есть переход из третьего плотностного из­мерения в четвертое, то α' – из четвертого в пятое, и та­ким образом в полученных формулах оказываются задействованы коэффициенты всех переходных про­странств. Граница α' между плотностью четвертой и пя­той мерностей, вероятно, тоже «плавает» в атомах различных элементов в пределах 1830 - 1840 и непреодо­лима для световых фотонов. Именно невозможность ее преодоления фотонами и обусловливает существование преломления и отражения света. И надо полагать, что коэффициент ' есть не отношение масс протона к массе электрона, а еще неизвестное отношение плот­ности пятимерного пространства к плотности четы­рехмерного. Нельзя исключить и того, что высокая плотность пятимерного пространства оказывается ос­новным фактором существования сильного взаимодей­ствия, поскольку это взаимодействие проявляется имен­но на таком расстоянии от центра ядра. Тогда слабое взаимодействие может оказаться связанным с перехо­дом из трехмерного пространства в некое промежуточ­ное с двумерным (а это означает, что и пространствен­ная мерность может оказаться нецелочисленной как вглубь, так и наружу).

Таким образом вероятность представления об плотностной ρ_л-мерности пространства как об изменении пространственной плотности можно считать достаточно убе­дительным и отметить следующую градацию плотностной мерности: коэффициент трехмерности ра­вен 4/3π₂ = π₃ = 4,18879..., четырехмерности π₄ = 4,45407..., пятимерности π₅ = 4,73713..., шестимерности π₆ = 4,9812035..., семимерности π₇ = 5,1839564..., восьмимерности π₈ = 5,3532381... и т.д. Естественно также, что они должны быть каким-то образом взаимосвязаны. И эта взаимосвязь прослеживается методом трехчастных делений — методом вурфов. Познакомимся в об­щих чертах с этим методом.