Lesn3_Integraly

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

Доказательство. Прежде всего, отметим, что оба интеграла в условии (2) существуют, так как подынтегральные функции по условию теоремы непрерывны на соответствующих интервалах.

Согласно определению общего интеграла дифференциального уравнения надо доказать два утверждения. Каждое решение уравнения (1) удовлетворяет условию (2). И наоборот, любая функция, удовлетворяющая условию (2), является решением уравнения (1).

Докажем сначала первое утверждение. Пусть y(x) - произвольное решение уравнения (1) на интервале (a; b). Тогда на интервале выполняется равенство

Поделим на h(y(x)) обе части равенства

а затем проинтегрируем

Выполнив в первом интеграле замену y = y(x), получим равенство интегралов (2). Таким образом, решение y(x) уравнения (1) удовлетворяет условию (2).

Докажем второе утверждение. Пусть некоторая функция y(x) определяется неявно соотношением (2). Выполнив в левом интеграле замену y = y(x), получим равенство (3*). Продифференцировав обе части этого равенства по x, получим равенство (2*). Умножив обе части равенства на h(y(x)), получим равенство (1*). Оно означает, что y(x) - решение уравнения (1).

Итак, равенство (2) определяет в области D общий интеграл уравнения (1). ►

Обратим внимание на второе условие в теореме 1.

Замечание. Если при некотором y0 (c; d) выполняется равенство h(y0) = 0, то функция-константа y = y0 является решением уравнения (1) на интервале (a; b).

Действительно, подставив функцию y = y0 в уравнение (1), получим тождество 0 = 0.

80

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

еорема 1 дает практический способ решения уравнений с разделяющимися переменными.

ся уравнением с разделяющимися переменными. Функция g(x) 1x

непрерывна на множестве R \ {0}, а функция h(y) = y непрерывна на

множестве R. Пусть y 0, тогда область D – это вся координатная плоскость, из которой удалены оси декартовой системы координат.

Согласно условию (2) получаем решение в квадратурах

ln | y | ln | Cx | ; | y| |Cx| ;

y = Cx.

От знака минуса тоже можно освободиться: y = Cx. Это равенство задает общее решение уравнения (*).

Заметим, что решение-константа y = 0 получается из общего при C = 0.

Рассмотрим интегральные кривые y = Cx уравнения (*). Это есть множество всех прямых плоскости, проходящих через начало системы координат. Исключение составляет ось Oy.

заключение первого раздела сделаем два замечания. Замечание 1. Уравнение в дифференциальной форме

p(x, y)dx q(x, y)dy 0

является уравнением с разделяющимися переменными тогда и только тогда, когда его можно представить в виде

81

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции u(x).

Доказательство. Продифференцируем обе части равенства (6)

Из замечания вытекает

алгоритм решения уравнения вида (5).

1. Подстановкой (6) сводим его к уравнению с разделяющимися переменными u a bf (u) относительно функции u(x).

3. Подставив в этот интеграл функцию u ax by c , получаем общий интеграл исходного уравнения (5).

Перейдем к исследованию уравнений следующего вида.

2. Однородные уравнения

ассмотрим сначала вспомогательное понятие.

Определение 2. Функция f(x; y) называется однородной степени

n на множестве D 2, если для всякого t \ {0} на этом множестве выполняется равенство

82

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

котором функция f(x; y) является однородной нулевой степени, называется однородным уравнением.

Теорема 2. Однородное уравнение y f (x, y) подстановкой

сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно функции u(x).

Доказательство. По условию теоремы для всякого t R \ {0}

u 1x h(u) u .

Оно является уравнением с разделяющимися переменными. ►

з теоремы 2 вытекает

алгоритм решения

однородного дифференциального уравнения y f (x, y) .

1. Подстановкой (8) сводим уравнение к уравнению с разделяющимися переменными u 1x h(u) u относительно u(x).

83

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

d (lnu) ln | x | ln | C | ;

lnu

ln | ln u | ln | Cx | ; | ln u | | Cx | ;

lnu Cx ; u eCx .

Получили общее решение уравнения (**).

Рассмотрим случаи обращения в нуль знаменателя дроби под знаком интеграла. Так как ln 0 не определен, то u 0 . Если же lnu 0

84

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

акончим данный раздел двумя замечаниями. Замечание 1. Уравнение в дифференциальной форме

p(x, y)dx q(x, y)dy 0

является однородным тогда и только тогда, когда функции p(x, y), q(x, y) являются однородными одной и той же степени.

Для решения такого уравнения используется та же замена

Пара чисел ( , ) является решением системы уравнений

Достаточно заметить, что при данной подстановке имеют место равенства:

Обратимся к решению следующего вида дифференциальных уравнений первого порядка.

85

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 10

3. Линейные уравнения

Линейные уравнения определяются по форме их записи. Определение 4. Дифференциальное уравнение вида

в котором функции p(x), q(x) определены на общем ин-

тервале (a; b), называется линейным уравнением.

Если q(x) 0 на (a; b), то уравнение называется линейным однородным; в противном случае - линейным неод-

нородным уравнением.

Разрешим линейное уравнение относительно производной: y q(x) p(x) y .

ln | y | ln e p( x)dx ln | C | ln | Сe p( x)dx | ;

y C e p(x)dx - общее решение уравнения (13).

86

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

Заметим, что знаменатель общего интеграла обращается в нуль при y = 0. Решение y = 0 входит в общее при C = 0.

Введем обозначение

II. Решаем теперь линейное неоднородное уравнение (12). 3. Решение ищем в виде

то есть, заставляем константу C менять, варьировать, свои значения. Отсюда идет название метода решения – метод вариации произвольной постоянной. Другое название – метод Лагранжа.

4. Вычисляем производную функции y. Согласно (*)

5. Получили дифференциальное уравнение относительно функции C(x). Оно решается в квадратурах:

C (x) q( x) ;

y1( x)

C(x) q( x) dx C . y1( x)

6. Подставляем C(x) в равенство (14) и раскрываем скобки:

Замечание. Первое слагаемое в общем решении является частным решением линейного неоднородного уравнения (12) (получается из общего при C = 0), а второе слагаемое - общим решением линейного однородного уравнения (13).

87

Глава III. Дифференциальные уравнения первого порядка

Эта ситуация и метод решения будут использованы в дальнейшем при решении линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

dyy 2xdx C ;

ln | y | x2 ln | C | ln e x2 ln | C | ln | Сe x2 | ;

yCex2 - общее решение.

3.Решение уравнения (*) будем искать в виде y C(x) ex2 .

4.Запишем уравнение (15) для нахождения функции C(x) :

C (x) ex2 (x 1)ex2 ;

5. Решим его: C (x) x 1 ;

C( x) ( x 1)d ( x 1) С 12 ( x 1)2 C .

6. Подставив C(x) в y, получим общее решение уравнения (*): y 12 (x 1)2 ex2 C ex2 .

Перейдем к исследованию одного обобщения линейного уравнения.

где R, 1, называется уравнением Бернулли.

В основе метода решения уравнения Бернулли лежит следующее утверждение.

88

§2. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

Доказательство. Вычислим производную u(x): u (1 ) y y .

Умножим обе части уравнения (16) на (1 ) y :

(1 ) y y (1 ) p(x) y1 (1 )q(x) .

Перепишем это уравнение для функции u(x):

I. Сводим уравнение Бернулли подстановкой (17) к линейному уравнению относительно функции u(x).

II. Находим общее решение u(x, С) линейного уравнения. III. Подставляя функцию u(x, С) в формулу замены (17),

получаем общий интеграл уравнения Бернулли: y1 u(x,C) .

89