Lesn3_Integraly

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Она проецируется по вертикали на один отрезок оси Ox. Нижняя

чим две области, простые по вертикали. Это подсказывает нам, как можно вычислять двойной интеграл по областям сложной структуры.

Замечание. Если область D не является простой ни по вертикали, ни по горизонтали, то ее разбивают на части D1,…, Dn, каждая из которых является простой по вертикали или по горизонтали. Тогда двойной интеграл по области D вычисляется по формуле

В заключение параграфа отметим, что для повторных ин-

160

§3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

тегралов (3) часто используют запись не вложением одного интеграла в другой, а примыканием:

Аналогичная запись используется и для повторных интегралов (6).

Перейдем к рассмотрению еще одного из способов вычисления двойного интеграла.

§4. Замена переменных в двойном интеграле

Вспомним сначала формулу замены переменной в определенном интеграле

Она имеет место при условии, что функция x(t) монотонна на отрезке [ , β], имеет на нем непрерывную производную и взаимно однозначно отображает отрезок [ , β] на отрезок [a, b]. Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

По аналогии с этой формулой можно получить формулу замены переменных в двойном интеграле.

1. Замена переменных в двойном интеграле. Общий случай

Пусть функция f(x, y) непрерывна на замкнутой ограниченной области D. Тогда существует двойной интеграл

f (x, y)dxdy .

D

161

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Чтобы получить двойной интеграл от новой функции, нужно чтобы она зависела от двух переменных, обозначим их как u, v. По аналогии с формулой замены переменной в определенном интеграле представим аргументы x, y функции f(x, y) как функции переменных u, v:

и той же области D1 R 2 и задавать взаимно однозначное отоб-

ражение : D1 D по правилу : (u, v) (x, y) = (x(u,v), y(u,v)).

Для задания такого отображения достаточно чтобы функ-

Равенство (3) называется формулой замены переменных в

двойном интеграле.

Напомним, что двойной интеграл в правой части равенства (3) вычисляется по области D1, которая с помощью функций x(u,v), y(u,v) взаимно однозначно отображается на область D.

Рассмотрим теперь замену переменных в двойном интеграле для одного частного случая.

Якоби К. Г. – (1804 – 1851), немецкий математик.

162

§4. Замена переменных в двойном интеграле.

2. Двойной интеграл в полярной системе координат

Замена переменных в двойном интеграле часто связывается с переходом от декартовой системы координат на плоскости к полярной системе координат.

ассмотрим на плоскости декартову систему координат

вяжем с функциями (4) замену переменных в двойном интеграле. Вычислим якобиан функций (он называется якобианом перехода к полярной системе координат):

Из равенств (5) следует, что функции (4) имеют на всей плоскости непрерывные частные производные первого порядка. Далее, в полярной системе координат для всех точек плоскости, кроме полюса, выполняется неравенство I(ρ, φ) = ρ > 0.

Наконец, отметим, что при отображении, определяемом функциями (4), точка M(ρ, φ) переходит в точку M(x, y), то есть в себя. Следовательно, область D1 есть та же область D, но заданная в полярной системе координат.

163

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Согласно равенству (3) получаем:

Равенство (6) называется формулой перехода в двойном интеграле к полярной системе координат.

Замечание. Переход в двойном интеграле к полярной системе координат часто используется, когда подынтегральная функция f(x, y) зависит от выражения x2 y2 или область

интегрирования D ограничена дугами окружностей.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат, как и в декартовой, сводится к вычислению повторных интегралов только для простых областей двух видов.

ям, двойной интеграл вычисляется по формуле:

Пример 1.

Требуется вычислить площадь S криволинейного сектора, ограниченного линиями: φ = , φ = β, ρ = ρ (φ).

Криволинейный сектор можно рассматривать как область, простую по расстоянию, ограниченную линиями (7) частного вида, когда ρ1(φ) = 0, ρ2(φ) = ρ(φ). Согласно первому свойству двойного интеграла получаем:

164

§4. Замена переменных в двойном интеграле.

Заметим, в рассмотренном примере мы доказали формулу вычисления площади криволинейного сектора с помощью определенного интеграла. При исследовании геометрических приложений определенного интеграла она давалась без обоснования.

Пример 2.

Вычислить двойной интеграл e x2 y2 dxdy по области D:

D

165

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Лекция 19

§5. Тройной интеграл

1. Понятие тройного интеграла

Рассмотрим функцию u = f(x, y, z), определенную в пространственной области V. Тройной интеграл для функции трех аргументов является аналогом двойного интеграла для функции двух аргументов. Он дает числовую характеристику функции f(x, y, z) в данной области V. Поэтому тройной интеграл определяется совершенно аналогично двойному интегралу.

При определении используются совершенно аналогичные понятия, и мы не будем давать их строгого определения. Рассмотрим только развернутое определение самого тройного интеграла.

1.Разобьем область V на произвольные малые области

V1, V2,…, Vn так, чтобы они не имели общих внутренних точек. Обозначим через Vi объем малой области Vi.

2.Выберем в каждой малой области Vi произвольную отмеченную точку (xi, yi, zi) и вычислим значение функции в этой

точке f(xi, yi, zi).

3. Составим интегральную сумму функции по области V

i 1

Интегральная сумма (1) еще не дает характеристики функции f(x, y, z) на области V. Сумма зависит от выбора разбиения области и от выбора отмеченных точек. Чтобы избавиться от этой зависимости, осуществим предельный переход в интегральной сумме.

4. Будем осуществлять последовательно разбиения области V так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Как и при определении двойного интеграла вводится (дословным повторением) понятие предела I интегральных сумм при d 0.

166

§5. Тройной интеграл.

Предел I интегральных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения области V и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется функцией f(x, y, z) и областью V.

Определение 1. Предел интегральных сумм функции f(x, y, z) по области V при d 0, если он существует и конечен,

называется тройным интегралом Римана от функции f(x, y, z) по области V. Функция f(x, y, z) в этом случае называется интегрируемой в области V.

Так как интеграл не зависит от выбора разбиения области V, то ее часто разбивают на малые области плоскостями, ортогональными осям координат. В этом случае для объема малых областей, которые являются параллелепипедами, выполняется равенство Vi xi yi zi . В соответствии с этим для тройного

интеграла используется обозначение f (x, y, z)dxdydz.

V

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме

Естественно возникает вопрос о существовании тройного интеграла для данной функции. Приведем один из признаков интегрируемости функции на области.

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция f(x, y, z) непрерывна на замкнутой ограниченной области V, то она интегрируема в этой области.

Доказательство опускаем.

При исследовании двойного интеграла была рассмотрена его геометрическая интерпретация. Она связана с объемом цилиндроида, который располагается в трехмерном пространстве.

При попытке дать аналогичную интерпретацию тройного интеграла пришлось бы рассматривать область, расположенную

167

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

в четырехмерном пространстве. Однако наглядное геометрическое представление о такой области отсутствует. Поэтому мы обратимся к физической интерпретации тройного интеграла.

Задача. Пусть дано материальное тело T, заполняющее пространственную область V. Известна непрерывная плотность (x, y, z) распределения массы этого тела. Требуется найти массу m рассматриваемого тела.

Решение. Проделаем следующие операции.

1.Разобьем область V на произвольные малые области

V1, V2,…, Vn так, чтобы они не имели общих внутренних точек. Обозначим через Vi объем каждой малой области Vi.

2.Выберем в каждой такой области произвольную точку

(xi, yi, zi) и вычислим значение функции в этой точке (xi, yi, zi).

3. Для массы m тела T получаем приближенное равенство

Правая часть этого равенства является интегральной суммой функции (x, y, z) по области V. Равенство будет тем точнее, чем меньше будет диаметр d разбиения области V.

4. Будем осуществлять последовательно разбиения области V так, чтобы диаметр d разбиения области стремился к нулю. Переходя в равенстве (*) к пределу при d 0, получим слева точное значение массы тела, а справа - тройной интеграл:

V

Равенство (3) выражает

физический смысл тройного интеграла.

Тройной интеграл по пространственной области от плотности распределения массы материального тела, заполняющего эту область, равен массе данного тела.

Обратимся к исследованию свойств тройного интеграла.

168

§5. Тройной интеграл.

2. Свойства тройного интеграла

Свойства тройного интеграла совершенно аналогичны рассмотренным свойствам 1) - 7) двойного интеграла.

Свойство 1. Тройной интеграл от единичной функции равен объему области интегрирования:

Равенство (4) дает геометрическое приложение тройного интеграла.

Остальные свойства тройного интеграла предлагается рассмотреть самостоятельно.

3. Вычисление тройного интеграла

вдекартовых координатах

Втройном интеграле область интегрирования является пространственной и может иметь достаточно сложное строение. Поэтому не существует вычислительной формулы, позволяющей найти значение тройного интеграла для любой такой области.

Рассмотрим тройной интеграл для области специального

вида.

Пусть F(x, y) = 0 - цилиндрическая поверхность, направляющая которой совпадает с границей области D, а образующие параллельны оси Oz. Тогда пространственная область V, ограниченная поверхностями

называется простой по вертикали.

169