Lesn3_Integraly

Глава II. Определенный интеграл

2.Метод парабол (Симпсона)

Воснове метода парабол лежит замена функции f(x) на малом отрезке некоторой квадратичной функцией.

Отрезок [a; b] разбивается на n = 2m равных отрезков

x2i 2

Затем суммированием по всем отрезкам получается равенство:

Формула (5) называется формулой парабол (Симпсона).

ность Rn приближенного равенства (5) оценивается неравенством

n метод Симпсона дает более точное приближение интеграла.

50

§6. Несобственные интегралы

Лекция 6

§6. Несобственные интегралы

Вычисляя определенный интеграл, мы предполагали, что функция f(x) непрерывна на конечном отрезке [a; b]. Исследуем случаи, когда эти условия нарушаются. Рассмотрим сначала интеграл с бесконечным промежутком интегрирования.

1. Несобственные интегралы I рода

(Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования)

ачнем с рассмотрения промежутков вида [a; + ). Как возникают несобственные интегралы в этом случае, нам поможет понять решение следующей задачи.

Задача о площади плоской области.

Вычислить площадь S области, заключенной между осью Ox и графиком функции y x12 на промежутке [a; + ), где a > 0.

Область такого вида будем также называть криволинейной трапецией функции f(x) на промежутке [a; + ).

Переходя в этом равенстве к пределу при b , получим

Задача решена, по сути дела, вычислением предела опре-

51

Глава II. Определенный интеграл

b

деленного интеграла S lim 1 dx . Предельный переход тако- b a x2

го вида встречается во многих прикладных задачах. Это обстоятельство послужило причиной следующего обобщения понятия определенного интеграла.

Определение 1. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; + ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b].

называется несобственным интегралом первого рода.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае -

расходящимся.

Обозначение: f (x)dx . a

Таким образом,

налогично определяются несобственные интегралы и для бесконечных промежутков двух других видов:

интеграл f (x)dx считается сходящимся, когда сходятся оба

несобственных интеграла из правой части равенства.

52

§6. Несобственные интегралы

Наряду с такой сходимостью для интеграла f (x)dx рас-

сматривают еще сходимость в смысле главного значения:

ходящийся несобственный интеграл I рода обладает основными свойствами определенного интеграла: линейности, аддитивности, монотонности. Это вытекает из того, что данными свойствами обладают и определенный интеграл, и предел функции, которые согласно равенствам (1), (1'), (1'') задают несобственный интеграл I рода.

Сходящийся несобственный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции этой функции на промежутке интегрирования.

Для него имеет место аналог формулы Ньютона-Лейбница. Действительно, пусть F(x) – любая первообразная для f(x). Тогда

a

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница

для несобственного интеграла I рода.

Аналогичные формулы имеют место и для несобственных интегралов вида (1'), (1'').

Пример 1.

Вычислим интеграл a xdx , где a, R, a > 0.

Рассмотрим сначала случай, когда = 1. Тогда

53

Глава II. Определенный интеграл

Следовательно, в данном случае интеграл расходится.

При 1 интеграл расходится:

2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

При решении прикладных задач часто возникают ситуации, когда относительно несобственного интеграла I рода достаточно знать, что он сходится, а конкретное его значение не важно. Для исследования сходимости несобственного интеграла используются различные признаки.

Рассмотрим некоторые признаки для случая, когда функция f(x) определена на промежутке [a; + ) и интегрируема на любом конечном отрезке [a; b]. В двух других случаях они рассматриваются аналогично.

Отметим предварительно свойства интеграла, вытекающие из свойств линейности и аддитивности.

54

§6. Несобственные интегралы

Для любого числа c 0 имеет место эквивалентность

Второе свойство означает, что если функция f(x) удовлетворяет на промежутке [a; + ) указанным условиям, то сходимость интеграла не зависит от выбора нижнего предела интегрирования и определяется свойствами функции при x + .

Рассмотрим теперь необходимое условие сходимости.

Теорема 1. (Необходимое условие сходимости).

Пусть функция f(x) непрерывна и монотонна на проме-

Доказательство опустим.

Исследуем некоторые признаки сравнения несобственных интегралов I рода.

Теорема 2. (Признак сравнения в конечной форме).

Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на промежутке [a; + ) и удовлетворяют на нем неравенству

55

Глава II. Определенный интеграл

ственного интеграла от неотрицательной функции и сравнения

y

Теорема 3. (Признак сравнения в предельной форме).

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке [a; + ), и существует конечный ненулевой предел

56

§6. Несобственные интегралы

Так как g(x) 0 в окрестности U ( ) , то в этой окрестности выполняется неравенство

a

Тогда сходится и интеграл (c )g(x)dx . Из второго неравен- a

ства в (*) и теоремы 2 следует сходимость интеграла f (x)dx . a

Если же g(x)dx расходится, то расходится и интеграл a

(c )g(x)dx . Из первого неравенства в (*) и теоремы 2 следу- a

ет расходимость интеграла f (x)dx . a

В случае, когда c , сначала проводятся аналогичные рассуждения относительно сходимости интеграла

57

межутке [a; + ). Поэтому все условия теоремы 3 выполнены.

Эталонный интеграл dx сходится при > 1 и расходит- a x

ся при 1. Тогда согласно теореме 3 интеграл f (x)dx также

Перейдем к исследованию несобственных интегралов от неограниченных функций.

58

§6. Несобственные интегралы

3. Несобственные интегралы II рода

(Интегралы от неограниченных функций)

Прежде, чем обратиться к интегралам этого вида, рассмотрим пример.

Пример 5.

При вычислении определенного интеграла получен такой удиви-

Что явилось причиной возникновения ошибки?

В данном примере причиной возникновения ошибки стало неправомерное использование формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла от функции, которая не является непрерывной на отрезке интегрирования.

Рассмотрим, как в этом случае исследуются интегралы.

Определение 2. Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a; b) и неограниченна в окрестности точки b.

интегралом второго рода.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; в противном случае -

расходящимся.

59