Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lesn3_Integraly

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Глава VII. Скалярные и векторные поля
u 0	. Из равенства (6) следует, что		. Это означает, что
l		2

градиент скалярного поля в данной точке направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке:

grad u(M ) || n(M ) .

(7)

Таким образом, мы получаем следующую картину.

grad(M)

M .

Познакомимся теперь с понятием векторного поля.

§2. Понятие векторного поля.

Векторные линии

ачнем с введения основного понятия.

Определение 1. Пусть в

некоторой области V R 3

задана

векторная функция

F (M ) . Область V вместе с вектор-

функцией F (M ) называется (пространственным) век-

торным полем.

Если область V содержится в некоторой плоскости и

(M ) || , то поле называется плоским.

Обозначение: если M V, то

(M ) P(M ) i

Q(M ) j R(M ) k .

(1)

220

§2. Понятие векторного поля. Векторные линии.

С примерами векторных полей мы встречались уже много

раз.

-Каждое скалярное поле U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.

-Поле скоростей v (x, y, z) установившегося потока жид-

кости.

-Силовое поле F (x, y, z) .

-Поле направлений дифференциального уравнения перво-

го порядка y f (x, y) .

-Поле тяготения.

-Напряженность электрического поля.

-Различные векторные характеристики электромагнитного поля дают примеры других векторных полей.

ервая характеристика векторного поля, которую мы рассмотрим, связана с движением объекта, помещенного в это поле. Чаще всего рассматривается материальная точка и ее траектория движения в векторном поле. Вспомним, как направлен вектор скорости движущейся частицы относительно траектории движения. Введем соответствующее понятие.

Определение 2.		Линия L V	называется векторной линией

	поля F ,	если в каждой ее точке			M направление каса-

	тельной совпадает с направлением вектора поля F (M ) .
В случае силового поля вектор-
ная линия часто называется силовой
линией, в случае поля скоростей - ли-						L
нией тока.					M .
нией тока.
Пример 1.
Рассмотрим		плоское поле		D
направлений дифференциального			уравне-
ния первого порядка y f (x, y) .				Со-

гласно геометрическому смыслу дифференциального уравнения некоторая кривая L D является интегральной тогда и только тогда, когда в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля.

221

Глава VII. Скалярные и векторные поля

Следовательно, векторные линии поля являются интегральными кривыми дифференциального уравнения. Они могут быть найдены путем решения данного уравнения. Это справедливо и в случае произвольного векторного поля.

Обратимся сначала к плоскому векторному полю

F (x, y) P(x, y) i Q(x, y) j .

Пусть векторная линия

L задана явно

y = y(x). Тогда со-

гласно

геометрическому

смыслу

дифференциала

y=y(x)

функции

y(x) в каждой точ-

ке

кривой L

вектор

M .

p (dx, dy) задает

направ-

ление

касательной

к L

этой точке. Так как

L - век-

торная линия, то векторы

x0 + x

коллинеарны.

Для их

координат имеет место пропорция

(*)

P(x, y)

Q(x, y)

Она является дифференциальным уравнением, неявно задающим функцию y(x), а следовательно, и векторную линию y = y(x).

Таким образом, нахождение векторных линий плоского поля сводится к нахождению интегральных кривых дифференциального уравнения (*).

Заметим, что если в области D для уравнения (*) выполнены условия теоремы Коши, то через каждую точку области проходит единственная векторная линия.

Пример 2.

Найти векторные линии поля			F	(x, y) y i		x j .
Здесь P(x, y) = y, Q(x, y) = x,		уравнение (*) принимает вид
	dx	dy			.

	y	x

Это есть уравнение с разделяющимися переменными

222

§2. Понятие векторного поля. Векторные линии.

ydy xdx .

Решаем его: 12 y2 12 x2 C .

После упрощения имеем: x2 y2 C .

Получили семейство концентрических окружностей с центром в начале координат.

Остается заметить, что в случае пространственного поля

(1) векторные линии задаются системой дифференциальных уравнений

dx	dy	dz
			.	(2)
P(x, y, z)	Q(x, y, z)	R(x, y, z)

случае поля скоростей векторная линия дает представление о движении в рассматриваемом поле локального объекта. Для получения соответствующей "глобальной" характеристики используется другое понятие.

Определение 3. Пусть			S V - неко-
	торая поверхность. Множе-			S
	ство всех векторных линий,			S
	ство всех векторных линий,
	проходящих через точки по-
	верхности	S,	называется
	векторной трубкой.

Содержательную сторону этого понятия мы рассмотрим позже, после введения еще ряда важнейших характеристик векторного поля.

§3. Поток и дивергенция векторного поля

Рассмотрим одну локальную и одну интегральную характеристики векторного поля. Получим их переносом с поля скоростей движения частиц жидкости на случай произвольного векторного поля.

223


Глава VII. Скалярные и векторные поля
усть дано векторное поле

	F	(M ) P(M ) i		Q(M ) j R(M ) k ,	(1)
где функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные
в области V.
Возьмем двустороннюю поверхность S V					с выбранной
стороной. Это означает, что в каждой
точке M S			задан единичный вектор
нормали выбранной стороны n(M ) .					S

Если F			является полем скоро-
стей, то, как мы знаем, поток Ф жидко-
сти через поверхность S в выбранную ее сторону вычисляется с

помощью поверхностного интеграла II рода по выбранной стороне поверхности. Распространим это понятие на общий случай.

Определение 1. Число Ф , определяемое равенством


Ф (		, n)d ,	(2)
	F
S

называется потоком векторного поля F			через поверх-
ность S в выбранную ее сторону.

Вычисление потока векторного поля как поверхностного интеграла II рода (2) сводится к вычислению соответствующего двойного интеграла.

оток – это интегральная характеристика векторного поля. Рассмотрим соответствующую локальную характеристику векторного поля. Для этого введем еще одно понятие. Вспомним формулу Остроградского-Гаусса. Она позволяет поток векторного поля через замкнутую поверхность выразить через тройной

интеграл от функции P			(x, y, z) Q	(x, y, z) R	(x, y, z) . В теории
		x	y	z
векторного поля эта функция носит специальное название.
Определение 2. Числовая функция, определяемая равенством


	divF (x, y, z) Px (x, y, z) Qy (x, y, z) Rz (x, y, z) , (3)
	называется дивергенцией (расходимостью) векторного

	поля F .

224

§3. Поток и дивергенция векторного поля.

С помощью оператора Гамильтона дивергенция записывается кратко в виде скалярного произведения

		div		( ,			) .
		div	F	( ,		F	) .		(4)
Пусть область (V) ограниче-
на замкнутой поверхностью					S.
Используя векторные обозначения,								. M	. M1
формулу Остроградского-Гаусса								. M
тоже можно записать короче
								S
(		, n )d div						Fdxdydz .	(5)
(	F	, n )d div						Fdxdydz .	(5)
S					( )
S					V

Вычислим дивергенцию в произвольной точке M (V). Согласно теореме о среднем для тройного интеграла имеем:

(		, n )d div		div		(M1) V .
(	F	, n )d div	Fdxdydz =	div	F	(M1) V .
S	( )
S		V

В правой части равенства V - объем области (V), а M1 - некоторая точка из (V). Выразим дивергенцию:

div

(M )

(

, n )d .

(*)

Будем теперь стягивать поверхность S в точку

M так,

чтобы диаметр d области (V)

стремился к 0. Так как

M1 (V),

то при d 0 получим, что

M. Функция div

непре-

рывна в области (V). Поэтому существует предел

lim divF (M1) = divF (M ) .

d 0

В силу равенства (*) тогда существует и предел правой

части. При этом получаем равенство:

div

(M ) lim

(

, n )d .

(6)

0 V

Таким образом, дивергенция векторного поля в точке M

225

Глава VII. Скалярные и векторные поля

равна пределу при d 0 отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность S, окружающую точку M, к объему V области, ограниченной этой поверхностью.

Равенство (6) иногда берется в качестве определения дивергенции векторного поля.

авенствам (5) и (6) можно придать простой физический смысл. Рассмотрим сначала некоторую область в потоке речной воды. Если в некоторой точке M этой области находится источ-

ник воды, то divF (M ) 0 . Если же в точке M находится сток воды, то divF (M ) 0 . Наконец, если в точке M нет ни источника, ни стока, то divF (M ) 0 .

По аналогии с этим возьмем произвольную точку M из области (V). Если divF (M ) 0 , то точку будем рассматривать как источник векторного поля F . Если же divF (M ) 0 , то считаем, что в данной точке находится сток векторного поля.

Поток - это количество жидкости в единицу времени - это мощность. Равенство (6) тогда означает, что

дивергенция в точке равна мощности источника (или стока) векторного поля в этой точке.

Формула Остроградского-Гаусса (5) означает, что

поток векторного поля через замкнутую поверхность во внешнюю ее сторону равен суммарной мощности всех источников и стоков векторного поля, содержащихся внутри поверхности.

В частности, если мощность всех источников больше мощности всех стоков, то поток жидкости будет направлен из

внутренней области во внешнюю, то есть (F , n)ds 0 .


S
Пример 1.
Вычислить поток Ф векторного поля		(2x; 2y;1 2z) че-
	F
рез замкнутую поверхность S: x2 y2 1 2z,			z 0 во внешнюю

ее сторону.

Обозначим через V область, ограниченную параболоидом вра-

226

§3. Поток и дивергенция векторного поля.

щения x2 y 2

1 2z и плоскостью z = 0 (см. рис.). Так как по-

1/2

1 y

x	1

верхность S замкнута, то воспользуемся формулой ОстроградскогоГаусса. Для этого вычислим сначала дивергенцию векторного поля:

div

(M ) 2 2 2 2 . Теперь по

формуле

Остроградского-

Гаусса получаем:

Ф 2xdydz 2 ydxdz (1 2z)dxdy

= 2dxdydz

= 2 dxdydz .

Область

является простой по вертикали. Она проецируется

вдоль оси Oz

на круг

D: x2 y 2

1 . Нижняя граница

z = h(x, y) = 0

и верхняя граница z

(1 x2

y 2 )

являются простыми. Выразим

тройной интеграл через повторные:

(1 x

)

2 dxdydz 2

= (1 x

)dxdy .

dxdy

Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Об-

ласть D является простой по расстоянию: = 0,				= 2 , = 1( ) = 0,
= 2() = 1. Выразим двойной интеграл через повторные:
	2	1
(1 x2 y2 )dxdy	=	d (1 2 ) d = 2	1	2	1	4	10	.
	=	d (1 2 ) d = 2	2	2	4			.
	0	0	2		4			2
D	0	0						2
D

Перейдем к рассмотрению других характеристик векторного поля.

227

Глава VII. Скалярные и векторные поля

Лекция 24

§4. Циркуляция и ротор векторного поля

Рассмотрим еще две характеристики векторного поля. Получим их переносом с силового поля на случай произвольного векторного поля.

Дано векторное поле
F (x, y, z) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k ,	(1)

где функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные в области V.

озьмем в векторном поле пространственную кривую AB, заданную параметрически:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

По аналогии с плоской кривой получим, что вектор

dr (dx, dy, dz) , (2)

вычисленный в любой точке M кривой AB, задает направление касательной к кривой в данной точке.

M .

Для криволинейного интеграла

II рода используется обозначение Pdx Qdy Rdz . С исполь-

зованием вектора dr интеграл можно записать более кратко

(F , dr ) .

Если F - это силовое поле, то интеграл (F , dr ) равен

работе силы F по кривой AB. Рассмотрим этот интеграл в условиях произвольного векторного поля.

228

§4. Циркуляция и ротор векторного поля.

Определение 1. Криволинейный интеграл II рода
(F , dr )	(3)

называется линейным интегралом векторного поля F по кривой AB.

Вычисление линейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.

В теории векторного поля важную роль играет линейный интеграл по контуру.

Определение 2. Линейный интеграл по контуру называется циркуляцией векторного поля.

Обозначение:

(
	F
		, dr	) .	(4)

Пример 1.

Вычислить циркуляцию F (x, y) y i x j по контуру

Контур (окружность) задан параметрически. Возьмем в качестве начальной точку A(1; 0). Тогда


= tA = 0,		= 2 и
x sin t,	y cost .

плоского		векторного	поля
С: x cost,		y sin t .

	z

Воспользуемся				основной	x	O	1	y
вычислительной				формулой	x	1


для двойного интеграла:
(				( y)dx xdy =		2
						(sin2 t cos2 t)dt 2 .
	F
	F	, dr	) =
C				C		0

Циркуляция характеризует вращательную способность векторного поля по контуру. Эта характеристика является интегральной.

229

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015334.92 Кб3lection19.10.pdf
#
11.05.2015540.33 Кб19lections-2008-1226.pdf
#
23.09.201931.49 Кб0lektsia-2.docx
#
20.11.201922.28 Кб1lektsia_3_4.docx
#
10.05.20151.39 Mб54Lektsii_po_SVCh_1.doc
#
11.05.20153.63 Mб9Lesn3_Integraly.pdf
#
11.05.20152.02 Mб6Lesn3_Integraly.pdf
#
11.05.20154.48 Mб7Lesn3_Integraly1.pdf
#
11.05.20152.33 Mб11Lesn4_Rjady.pdf
#
11.05.20151 Mб5Lesn4_Rjady_I.pdf
#
11.05.20151.31 Mб4Letn_prakt.pdf