Lesn3_Integraly
.pdfГлава II. Определенный интеграл
b
Обозначение: f (x)dx . a
Таким образом,
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
f (x)dx = |
lim |
|
f (x)dx . |
(7) |
||
|
a |
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяются несобственные интегралы фун- |
|||||||
кции f(x), неограниченной в окрестности точки a |
или c (a; b): |
||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
f (x)dx = |
lim |
|
f (x)dx . |
(7') |
||
|
a |
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
с |
|
|
|
b |
|
f (x)dx = |
lim |
f (x)dx + |
|
lim |
f (x)dx . |
(7'') |
|
a |
0 |
a |
|
0 |
с |
|
Предлагается убедиться, что интеграл примера 5 является несобственным интегралом вида (7''), причем расходящимся.
усть теперь F(x) - первообразная для f(x). Тогда из равенства (7) следует
b |
|
b |
lim F(b ) F(a) = |
f (x)dx = |
lim |
f (x)dx = |
|
a |
0 |
a |
0 |
|
|
=lim F(b ) F(a) F(b 0) F(a) .
0
Таким образом,
b |
|
f (x)dx F(b 0) F(a) . |
(8) |
a
Формула (8) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Аналогичные формулы можно получить и для несобственных интегралов вида (7') и (7'').
войства и признаки сходимости несобственных интегралов II рода рассматриваются аналогично случаю интегралов I рода. Предлагается рассмотреть их самостоятельно.
60
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
Лекция 7
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
В данном параграфе мы ограничимся рассмотрением только геометрических приложений определенного интеграла. Многие физические задачи допускают наглядную геометрическую интерпретацию и их решение можно свести к решению соответствующих геометрических задач.
Из геометрических задач мы рассмотрим задачи на нахождение длины кривой линии, площади плоской фигуры и объема пространственной области. Из этих трех задач с помощью определенного интеграла наиболее просто решаются задачи на вычисление площади плоской фигуры.
1. Вычисление площади плоской фигуры
Рассмотрим три способа описания плоской фигуры.
п.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
Исследование начнем с решения следующей задачи. Вычислить площадь S области, являющейся криволинейной трапе-
цией некоторой функции |
f (x), непрерывной и неотрицательной |
|||||||
на отрезке [a; b], a < b. |
|
y |
|
|
|
|
|
|
Согласно геометрическо- |
|
|
y = f(x) |
|
||||
|
|
|
|
|||||
му смыслу определенного инте- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
грала выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
S f (x)dx . |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
a |
b |
x |
||||
a |
|
|
||||||
Рассмотрим |
теперь |
пло- |
|
|
|
|
|
|
щадь S области, заключенной между графиками функций f(x) |
и |
g(x) на отрезке [a; b]. Функции непрерывны на данном отрезке и
61
Глава II. Определенный интеграл
удовлетворяют на нем неравенству
y
y = g(x) y = f(x)
O |
a |
b x |
f(x) g(x).
Предположим сначала, что 0 f(x) на отрезке [a; b]. Очевидно, тогда выполняется равенство
b |
b |
S g(x)dx f ( x)dx . |
|
a |
a |
Отсюда в силу линейности интеграла вытекает равенство b
S g(x) f (x) dx . |
(2) |
a |
|
В случае, когда функция f(x) меняет знак на отрезке [a; b], для доказательства равенства (2) достаточно рассмотреть функции f(x) + m и g(x) + m, где m - наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b].
Если плоская область имеет более сложную структуру, то она разбивается на области двух рассмотренных видов.
Пример 1.
Вычислить площадь S области D, заключенной между линиями y x и y x2 на отрезке [0; 2].
|
|
Построим сначала область D (см. рис.). В данном случае раз- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность функций |
g(x) f(x) = x2 x ме- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y |
y = x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
няет знак на отрезке [0; 2]. На интервале |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
(0; 1) она принимает отрицательные зна- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения, а на интервале (1; 2) – положи- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельные. Учитывая это, согласно равен- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ству (2) получаем |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
O 1 |
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
(x x |
)dx |
+ (x x)dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
1 |
|
x3 |
|
x2 |
|
2 |
|
0 8 |
2 1 |
1 = 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
1 |
|||||||
2 |
3 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вычисление площади плоской области сводится, в конечном счете, к вычислению площадей криволинейных трапеций. Рассмотрим этот вопрос подробней.
62
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
п.2. Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически
Пусть функция задана параметрически:
x x(t), |
y y(t), |
t . |
(3) |
При этом функции x (t) , |
y(t) положительны и непрерывны на |
||
отрезке [ ; ]. Тогда для площади S |
криволинейной трапеции |
||
функции имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
S y(t)x (t)dt . |
(4) |
||
|
|
|
|
◄ Докажем это равенство. Зададим функцию явно y = f(x) на
соответствующем отрезке [a; b]. |
Тогда x( ) = a |
и x( ) = b. Так |
как x (t) 0 на отрезке [ ; ] , то |
a < b. Далее, так как y = f(x), |
|
то y(t) f (x(t)) 0 . |
|
|
|
|
b |
Для искомой площади S имеем равенство |
S f (x)dx . |
a
Рассмотрим теперь интеграл (4):
|
|
y(t)x (t)dt = f (x(t))dx(t) x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
x |
|
b |
f (x)dx S . |
|
||||
|
|
|
a |
a |
Замена переменной x(t) = x в интеграле возможна, так как все условия теоремы о замене в определенном интеграле выполнены. Равенство (4) доказано. ►
Замечание. Если в параметрическом задании (3) криволинейной
трапеции x (t) 0 на отрезке |
[ , |
], |
то площадь трапе- |
ции вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
S y(t)x (t)dt . |
|
(4') |
|
|
|
|
|
Это вытекает из формулы замены переменной в определенном интеграле и равенств x( ) = b, x( ) = a, имеющих место в данном случае.
63
Глава II. Определенный интеграл
Пример 2.
Вычислим площадь S области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически: x a cos t; y b sin t , t [0; 2 ].
Так как эллипс симметричен относительно обеих осей координат, то достаточно найти площадь S1 той части обла-
сти, которая лежит в первой координатной четверти. Соответствующая часть эллипса описывается изменением пара-
метра в пределах от 0 до 2 .
В данном случае производная x (t) (a cost) asin t в этих
пределах отрицательна. Поэтому согласно равенству (4') для площади S1 имеем
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
/ 2 |
|
S1 |
b sin t(a sin t)dt |
ab sin2 tdt |
1 |
ab (1 cos 2t)dt = |
|||||
|
2 |
|||||||||
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
/ 2 |
0 |
||
|
1 ab t |
1 sin 2t |
|
|
|
|
0 0 0 1 |
|
||
= |
|
2 1 ab |
ab . |
|||||||
|
2 |
2 |
|
0 |
2 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для полной площади S области получаем S = 4S1 = ab. |
Рассмотрим теперь, как вычисляется площадь плоской фигуры в полярных координатах. Вспомним сначала, как строится полярная система координат.
п.3. Полярная система координат на плоскости
Пусть в декартовой системе координат xOy плоскости задана точка M(x, y). Ее поло-
жение на плоскости полностью определяется декартовыми координатами x и y. Вместе с тем, точка определяется своим радиус-вектором rM . В свою очередь, радиус-
вектор, как и любой другой вектор, полностью определяется направлением и длиной.
64
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
В соответствии с этим строится полярная система координат.
Для отсчета расстояний на плоскости фиксируется некоторая точка O. Она называется полюсом. Для отсчета углов фиксируется луч с началом в точке O. Он называется полярной осью.
Длина радиус-вектора точки M, то есть расстояние
OM, называется полярным расстоянием точки M. Угол
между полярной осью и радиус-вектором OM точки M, отсчитываемый против часовой стрелки, называется полярным углом точки. Числа и называются полярными координатами
точки M.
Обозначение: M( ; ).
Если на плоскости задана декартова система координат, то, как правило, в качестве полюса O берут начало системы координат, а в качестве полярной оси – луч, направление которого совпадает с направлением оси Ox. Из треугольника OMA получаем зависимость декартовых координат точки M от ее полярных координат, то есть формулы перехода от декартовой системы координат к полярной:
x cos , |
(5) |
|
|
y sin . |
|
Остается заметить, что если кривая L задается в декартовой системе координат уравнением вида y = y(x), то в полярной системе эта кривая определяется уравнением вида
= ( ), |
> 0. |
Из формул перехода (5) вытекает параметрическое задание этой кривой
x ( ) cos , |
y ( )sin . |
(6) |
Вернемся к вычислению площадей плоских фигур.
65
Глава II. Определенный интеграл
п.4. Площадь криволинейного сектора
вполярных координатах
Вполярной системе координат часто рассматривается область, определяемая аналогично криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
Определение 1. Пусть функция ( ) непрерывна на отрезке [ ; ]. Область, ограниченная лучами = , = и
кривой = ( ), называется криволинейным сектором.
Задача о площади криволинейного сектора решается аналогично задаче о площади криволи-
нейной трапеции.
Пусть криволинейный сектор ограничен линиями
= , |
= , |
= ( ). |
(7) |
||
Тогда его площадь S определяется равенством |
|
||||
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
2 ( )d . |
(8) |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Доказательство можно провести аналогично доказательству геометрического смысла определенного интеграла. Однако мы этого делать не будем. Равенство (8) в дальнейшем будет получено как следствие одного из свойств двойного интеграла.
Пример 3.
Вычислим площадь области, ограниченной первым витком спи-
рали Архимеда |
|
= a, a > 0. |
Так как |
|
изменяется в преде- |
лах от 0 до 2 , то согласно (8) |
|
|
2 |
2 |
|
|
||
S |
1 |
(a )2d |
1 |
a2 13 3 |
4 |
3a2 . |
|
2 |
2 |
3 |
|||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к вычислению длины дуги кривой. |
66
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
2. Вычисление длины кривой
п.1. Длина плоской кривой в декартовых координатах
|
Рассмотрим непрерывную плоскую кривую y = f(x). Функ- |
|||||||||||
ция |
f(x) определена на отрезке [a; b] |
и |
имеет на нем непре- |
|||||||||
рывную производную. Вычислим длину l |
дуги этой кривой. |
|||||||||||
|
1. |
Разобьем отрезок [a; b] на n |
малых отрезков точками |
|||||||||
a = x0 < x1 |
< x2 < … < xn 1 < xn = b. Обозначим через xi при- |
|||||||||||
ращения xi |
xi 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Через |
точки деле- |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ния |
xi |
проведем прямые, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
параллельные оси Oy, до |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пересечения с кривой. По- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
лучим точки |
Ai. |
Каждую |
|
|
|
|
|
|||||
малую дугу |
Ai 1 Ai |
кривой |
|
|
|
|
|
|||||
заменим отрезком |
Ai 1 Ai . |
|
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Для длины l кривой получаем приближенное равенство |
n
lAi 1 Ai .
i1
Выразим в этом равенстве длину отрезка Ai 1 Ai через значения функции f(x).
Проведем через точку Ai 1 прямую, параллельную оси Ox, до пересечения с прямой Ai xi. Обозначим полученную точку пересечения через C. В прямоугольном треугольнике Ai 1 AiC
сторона Ai 1 Ai является гипотенузой. По теореме Пифагора по-
лучаем равенство |
A |
A |
A C2 |
A C2 . |
|
i 1 |
i |
i 1 |
i |
Длина катета |
Ai 1C равна приращению xi аргумента на |
|||
отрезке [xi 1; xi ] : |
Ai 1C = xi. Длина другого катета равна при- |
|||
ращению функции |
AiC f (xi ) f (xi 1) . По теореме Лагранжа |
|||
существует точка |
сi [xi 1; xi ] , |
для которой выполняется ра- |
67
Глава II. Определенный интеграл
венство AiC f (ci ) xi . Подставим выражения катетов в выражение для гипотенузы:
|
|
|
|
|
|
|
|
A A = |
( x )2 |
f (c ) 2 |
( x )2 |
= |
|
1 f (c ) 2 |
x . |
i 1 i |
i |
i |
i |
|
|
i |
i |
Итак, длина l кривой приближенно равна
n
l 1 f (ci ) 2 xi .
i 1
4. Сумма справа есть интегральная сумма Римана для функции 1 f (x) 2 . Переходя в равенстве к пределу при
d 0, получим точное равенство, в правой части которого стоит определенный интеграл
b |
|
dx . |
|
l |
1 f (x) 2 |
(9) |
|
a |
|
|
|
п.2. Длина плоской кривой, заданной параметрически
Пусть наряду с явным заданием кривой y = f(x), a x b , имеем еще параметрическое задание
x x(t), |
y y(t), |
t . |
(10) |
|
При этом на отрезке [ ; ] функции x(t), |
y(t) имеют непрерыв- |
|||
ные производные. |
|
|
|
|
Предположим сначала, что на отрезке [ ; ] |
функция x(t) |
|||
монотонно возрастает. Тогда x (t) 0 на |
[ ; ] и выполняются |
|||
равенства x( ) = a, x( ) = b. |
|
|
|
|
Выполним в интеграле (9) замену |
x = x(t). |
Все условия |
теоремы о замене в определенном интеграле выполнены, причем
f (x) |
yt |
. |
Тогда |
|
равенство |
(9) |
примет |
|
вид |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
l 1 f (x) dx |
= |
1 |
|
x (t)dt |
x (t) y (t) |
dt . |
||||||||
|
||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
Итак, для длины l кривой имеет место равенство
l x (t) 2 y (t) 2 dt . (11)
В случае, когда функция x(t) не обладает свойством монотонности на отрезке [ ; ], доказательство проводится аналогично.
Замечание. В случае пространственной кривой, заданной пара-
метрически:
x x(t), |
y y(t), |
z z(t), |
t , |
(10') |
ее длина l вычисляется по аналогичной формуле
l x (t) 2 y (t) 2 z (t) 2 dt . (11')
п.3. Длина дуги плоской кривой в полярных координатах
Пусть кривая L задана в полярной системе координат
( ), |
. |
(12) |
Согласно формулам (5) перехода от декартовой системы координат к полярной задание (12) кривой можно преобразовать в параметрическое:
x ( ) cos , y ( )sin .
Тогда длину l кривой L можно вычислить по формуле (11). Так
как |
x |
( ) cos ( )sin , |
y |
( )sin ( ) cos , то |
|
|
|
|
|
l 2 ( ) ( ) 2 d . (13)
Перейдем к вычислению объемов пространственных обла-
стей.
69