Lesn3_Integraly

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

j 1

Построение фундаментальной системы решений рассмотрим для систем уравнений частного вида.

2.Системы линейных однородных уравнений

спостоянными коэффициентами

Вместо функциональной матрицы P(x) будем рассматривать числовую матрицу

Определение 3. Система дифференциальных уравнений вида

называется системой линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

удем искать решение системы уравнений (6) в виде

140

§3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

где x1, x2 ,...,xn и k – неизвестные числа.

Продифференцируем вектор-функцию: Y kx ekx . Подставим вектор-функции Y и Y в систему уравнений (6):

которое является алгебраическим уравнением порядка n. Собственные векторы x находятся как решения системы

линейных однородных алгебраических уравнений

зависимости от корней характеристического уравнения рассмотрим три случая.

◄ 1. Уравнение (8) имеет n различных действительных кор-

ней k1, k2 ,...,kn .

Этим собственным числам соответствуют n линейно независимых cобственных векторов x1, x2 ,...,xn . Данным векторам

соответствует n различных решений Y1,Y2 ,...,Yn . Они образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3). ►

Пример 1.

Решим систему дифференциальных уравнений

Имеем систему линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Решения ФСР будем искать в виде Y x ekx .

141

(2 k)x1 x2 0,3x1 (4 k)x2 0.

5. Найдем собственные векторы, отвечающие собственным зна-

7. Согласно равенству (4) общее решение системы (*) имеет вид: Y C1Y1 C2Y2 . Запишем его в развернутом матричном виде:

Обычная запись общего решения системы (*):

Рассмотрим теперь другой случай.

142

§3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

◄ 2. Характеристическое уравнение (8) имеет n различных корней, как действительных k, так и комплексных i .

включается в фундаментальную систему решений системы уравнений (3).

С парой комплексно сопряженных корней i поступа-

ем следующим образом.

Подставив i в систему (9) для нахождения координат

собственных векторов, получим систему с комплексными коэффициентами. Ее решение тоже будет комплексным:

Тогда числу i будет соответствовать собственный

вектор x2 u vi .

Оказывается, в этом случае в фундаментальную систему решений системы уравнений (3) можно включить следующие две вектор-функции:

143

6. Согласно равенству (11) запишем решения фундаментальной системы:

◄ 3. Среди корней характеристического уравнения (8) есть кратные корни. В этом случае построение фундаментальной системы решений является более сложным. ► Перейдем к исследованию систем линейных неоднородных

уравнений.

144

§4. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

§4. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

ешение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

тесно связано с решением соответствующей системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Теорема 1. (О структуре общего решения). Пусть Y1,Y2 ,...,Yn -

фундаментальная система решений системы уравнений

(2) и Yчн - частное решение системы уравнений (1). Тогда общее решение системы уравнений (1) имеет вид:

j 1

Доказательство опускаем.

Для решения системы уравнений (1) используются метод вариации произвольных постоянных и метод подбора частного решения.

ассмотрим первый из них. Он совершенно аналогичен методу вариации произвольных постоянных для одного линейного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка. Поэтому ограничимся записью соответствующего алгоритма решения.

Алгоритм решения системы линейных неоднородных уравнений

методом вариации произвольных постоянных

1. Находим общее решение системы уравнений (2):

n

Yоо C jY j .

j 1

145

Глава V. Системы дифференциальных уравнений

2. Записываем форму общего решения системы (1):

i1

3.Записываем систему уравнений для нахождения производных неизвестных функций C j ( x) :

j1

4.Находим производные функций C j ( x) .

5.Интегрированием находим сами функции C j ( x) .

6.Подставляя найденные функции C j ( x) в равенство (4), записываем общее решение системы уравнений (1).

Пример 1.

Решим систему уравнений

1. Запишем общее решение однородной системы:

146

§4. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

то касается метода подбора частного решения по правой части специального вида, ограничимся одним замечанием.

Для нахождения частного решения системы уравнений с постоянными коэффициентами

методом подбора используются утверждения, аналогичные теоремам 2 - 4 (§4 предыдущей главы) для одного линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.

На этом мы закончим исследование обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Обратимся к вопросам интегрирования функций нескольких переменных.

147

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Лекция 17

Глава VI

Интегрирование функций нескольких переменных

До сих пор мы занимались интегрированием функций одной переменной. Теперь будем исследовать функции нескольких переменных. Начнем с функций двух переменных.

§1. Понятие двойного интеграла

Чтобы получить наглядное представление о том, что дает двойной интеграл функции двух переменных, рассмотрим решение одной геометрической задачи.

1. Задача об объеме пространственной области

Рассмотрим пространственную область, которая определяется графиком функции аналогично криволинейной трапеции.

рическом пространстве R 3, определяемая уравнением z = f(x, y).

148

§1. Понятие двойного интеграла.

Определение 1. Пусть пространственная область V ограничена плоскостью z = 0, поверхностью z = f(x, y) и цилиндрической поверхностью, направляющая которой совпадает с границей области D, а образующие параллельны оси Oz. Тогда область V называется цилиндроидом функции f(x, y) на области D.

Задача.

На области D R 2 задана положительная непрерывная функция f(x, y). Вычислить объем V ее цилиндроида с основанием D.

◄ Решение. Предположим сначала, что функция f(x, y) является постоянной на области D: f(x, y) = c. Тогда задача решается достаточно просто: V = c SD.

Пусть теперь функция f(x, y) не является постоянной на области D. Если бы область D была достаточно малой, то в силу непрерывности функции f(x, y) ее значения на этой области мало отличались друг от друга. Учитывая это, постараемся решение задачи свести к решению предыдущей. Проделаем следующие операции.

1. Разобьем область D на n малых областей D1, D2,…, Dn, которые не будут иметь общих внутренних точек. Площадь ма-

149