Lesn3_Integraly

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Свойство 6 (аддитивности). Если поверхность S разбита на части S1 и S2, не имеющие общих внутренних точек, то выполняется равенство

(v, n )ds = (v , n )ds + (v , n )ds .

пользуются обозначения:

Pdydz Qdxdz Rdxdy - для внешней стороны S;

S

Pdydz Qdxdz Rdxdy - для внутренней стороны S.

S

210

§11. Поверхностный интеграл II рода.

5. Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Теорема 2. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на гладкой поверхности S. Поверхность S является графиком функции

определенной на замкнутой ограниченной области D плоскости xOy. Тогда для верхней стороны поверхности S выполняется равенство

S

211

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

x 12 y 0 (1 2x ) dxdy = 1dxdy SD = 2 3 = 6.

D D

Рассмотрим поверхностные интегралы частных видов.

6. Поверхностный интеграл II рода по замкнутой поверхности (Формула Остроградского-Гаусса)

Вспомним формулу Грина. Она устанавливает связь между криволинейным интегралом II рода по контуру и двойным интегралом по плоской области, ограниченной этим контуром.

Оказывается, аналогичная связь существует между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной данной поверхностью. Эта связь выражается формулой Остроградского -Гаусса.

Теорема 3. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) имеют непрерывные частные производные в пространственной области V, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. Тогда для внешней стороны поверхности S выполняется равенство

212

§11. Поверхностный интеграл II рода.

Рассмотрим теперь интегралы другого вида.

213

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

7.Поверхностный интеграл II рода по незамкнутой поверхности.

(Формула Стокса)

Вформуле Остроградского поверхностный интеграл II рода берется по замкнутой поверхности. Остался неохваченным случай незамкнутой поверхности. В этом случае поверхностный интеграл II рода оказывается связанным с криволинейным интеграл II рода.

Вдальнейшем мы будем часто обращаться к помощи оператора дифференцирования векторных функций. Будем обозна-

чать его через , называть оператором набла (Гамильтона) и

При формулировке соответствующей теоремы воспользуемся оператором набла, точнее, - векторным произведением век-

Как называется этот вектор в физике?

Теорема 4. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) имеют непрерывные частные производные на кусочно-гладкой поверхности S. Поверхность ограничена кусочногладким контуром C. Тогда для выбранной стороны поверхности S и положительного для этой стороны направления на контуре C выполняется равенство

214

§11. Поверхностный интеграл II рода.

Доказательство опустим.

Равенство (7) называется формулой Стокса . Замечание 1. Из формулы Стокса вы-

Замечание 2. Поверхностный интеграл в равенстве (7) не зависит от выбора поверхности S, ограничиваемой контуром C.

Стокс Д.Г. (1819-1903), английский математик, физик.

215

Глава VII. Скалярные и векторные поля

Лекция 23

Глава VII

Скалярные и векторные поля

§ 1. Скалярное поле

Введем сначала основное понятие.

Определение 1. Пусть в некоторой области V R 3 определена числовая функция u(x, y, z). Тогда область V вместе с функцией u(x, y, z) называется скалярным полем.

Примерами скалярных полей могут служить поле температур, поле плотности распределения массы, поле электрического потенциала и т. д.

ассмотрим две основные характеристики скалярного поля. Сначала - свойство постоянства скалярного поля.

Определение 2. Поверхность S, во всех точках которой функция u(x, y, z) принимает постоянное значение c:

Поверхности уровня образуют однопараметрическое семейство непересекающихся поверхностей, заполняющих всю область V.

Примерами поверхностей уровня могут служить изотермы, изобары и т. д .

Пример 1.

Пусть в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) пространства сосредоточен элек-

трический заряд величины q. Тогда потенциал u(x, y, z) электрического поля определяется по формуле

216

§1. Скалярное поле.

ругой важной характеристикой скалярного поля является его изменчивость в заданном направлении. Для исследования этого свойства поля нам понадобится обобщение понятия част-

направлению l скалярного поля u(x, y, z) в точке M0.

Заметим, что если направление оси l совпадает с направ-

217

Таким образом, производная по направлению обобщает понятие частной производной и в рассмотренных случаях выражается через эти частные производные. Покажем, что и в общем случае

Предположим, что функция u(x, y, z) дифференцируема в области V. Запишем ее приращение при переходе от точки M0 к точке M. Пусть M0(x0, y0, z0), M (x0+ x, y0 + x, z0 + x). Тогда M0M ( x, y, z) и имеют место равенства:

Выразим координаты вектора e через направляющие косинусы:

e (cos ,cos ,cos ) .

Тогда из равенства векторов (*) получаем три равенства для координат:

x l cos , y l cos , z l cos .

Перепишем приращение (**) функции u(x, y, z) в виде

Согласно определению производной теперь получаем:

Отсюда следует формула для вычисления производной:

218

§1. Скалярное поле.

ля дальнейшего исследования производной по направлению введем еще одно понятие.

Определение 4. Вектор

называется градиентом скалярного поля u(x, y, z).

Обозначим через угол между градиентом и ортом e оси l. Тогда равенство (5) можно переписать так:

Из равенства (6) вытекает, что производная по направлению в данной точке принимает максимальное значение, когда направление совпадает с направлением градиента. По-другому,

скорость возрастания функции u(x, y, z) максимальна в направлении градиента.

заключение параграфа рассмотрим связь между двумя свойствами скалярного поля. Возьмем на поверхности уровня u(x, y, z) = с произвольную точку M . Построим в этой точке касательную плоскость к поверхности уровня. На плоскости возь-

мем произвольное направление касательной l . Очевидно, тогда

219