Lesn3_Integraly

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

3. Задача Коши для уравнения третьего порядка:

задает дополнительно кривизну интегральной кривой в точке M.

Так решается одна из основных задач теории дифференциальных уравнений.

ассмотрим вторую задачу - отыскание всех решений уравнения (1). Представление о числе решений дает та же теорема Коши. Рассмотрим начальное условие (2). Возьмем некоторую точку (x0, y0, y0 ,…, y0(n–1)) D. Меняя значения y0, y0 ,…,y0(n–1) в соответствующих интервалах, получим для каждого набора значений свое решение y(x, y0, y0 ,…, y0(n–1)).

Таким образом, все решения уравнения (1) образуют n-параметрическое семейство. Для его описания используется понятие общего решения дифференциального уравнения.

является решением уравнения (1) в области D;

2)для всякого решения u(x) уравнения из области D существуют действительные числа c1*,...,cn* , удовле-

творяющие условию u(x) y(x,c1*,...,cn* ) .

Решение, получаемое из общего при фиксированных значениях параметров Ci, называется частным решением.

В тех случаях, когда решение не удается задать явно, используется понятие общего интеграла.

100

§1. Основные понятия

неявно задающее общее решение уравнения (1), называ-

ется общим интегралом уравнения.

Если в равенстве (3) значения всех параметров Ci фиксированы, то интеграл называется частным интегралом.

Из всех решений уравнения (1) конкретное решение можно фиксировать двумя способами: заданием начального условия (2) или заданием значений параметров C1,…, Cn в общем решении уравнения. Это дает

алгоритм решения задачи Коши:

1. Находим общее решение y(x, C1,…, Cn) уравнения y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ) .

2. Записываем систему из n уравнений

Коши.

На этом мы закончим первое знакомство с основными понятиями теории дифференциальных уравнений n-го порядка и обратимся к решению таких уравнений.

101

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

§2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Запишем дифференциальное уравнение порядка п:

F(x, y, y ,..., y(n) ) 0 .

Исследуем следующие неполные виды уравнений.

1. Дифференциальные уравнения, содержащие только старшую производную искомой функции

Пример 1.

Решим уравнение y e2x .

Уравнение имеет вид (1). Интегрируем последовательно 3 раза:

нения.

102

§2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

2. Дифференциальные уравнения, не содержащие первых производных искомой функции

Такие уравнения имеют вид (0 < k < n):

порядок уравнения (2) понижается на k единиц.

◄ Действительно, при этой замене y(k 1) u ,..., y(n) u(n k) . Подставим эти производные в уравнение (2):

Предположим, что удалось найти общее решение данного урав-

Уравнение содержит только старшую производную функции y(x) и решается последовательным интегрированием k раз.

Таким образом, решение уравнений вида (2) выполняется в два этапа. Сначала записывается и решается уравнение (*) порядка n k относительно функции u(x), а затем решается уравнение (**) порядка k относительно искомой функции y(x). ►

Решаем это уравнение:

103

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

duu dxx C1 ;

ln | u | ln | x | ln C1 ;

u C1x - общее решение уравнения (*).

2. Подставив u в формулу замены y u , получим уравнение

y C1x . (**)

Решаем это уравнение однократным интегрированием: y C1xdx C2 ;

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной

функции y(x) представлена в виде y u( y(x)) .

Исследуем уравнения указанного вида. Ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Они имеют вид

Это уравнение первого порядка относительно функции u(y).

104

§2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Предположим, что удалось найти общее решение u( y,C1) данного уравнения. Тогда, подставив функцию u( y,C1) в урав-

нение (5), получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции y(x):

Таким образом, решение уравнений вида (4) выполняется в два этапа. Сначала записывается и решается уравнение первого порядка (*) относительно функции u(y), а затем решается уравнение первого порядка (**) относительно функции y(x). ►

Пример 3.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

duu dyy C1 ; ln|u| ln| y| ln|C1| ;

u Cy1 - общее решение уравнения (*).

2. Подставив u в формулу замены y u , получим уравнение

ydy C1dx C2 ;

высших порядков, допускающих понижение порядка. Перейдем к исследованию важного класса линейных уравнений.

105

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

Лекция 12

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

При исследовании решений линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков (ЛОДУ) существенным образом используется терминология линейных пространств.

1. Линейная зависимость функций

ассмотрим линейное пространство L(a;b) всех функций, определенных на интервале (a; b). Возьмем в нем подмножество Ln (a;b) всех функций, n раз дифференцируемых на этом ин-

u(x) также принадлежат множеству Ln (a;b) . Согласно критерию это означает, что

множество Ln (a;b) относительно операций сложения

функций и умножения функций на число образует подпространство линейного пространства L(a;b) .

екторами линейного пространства Ln (a;b) являются

функции, n раз дифференцируемые на интервале (a; b). Для них, как и для любых векторов, имеет смысл говорить о линейной зависимости.

Перефразируем соответствующее определение.

106

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Определение 1. Система функций f1(x), f2 (x),..., fk (x) называ-

ется линейно зависимой на интервале (a; b), если суще-

ствует нетривиальная линейная комбинация этих функций, для которой на (a; b) выполняется тождество:

Если тождество имеет место только для тривиальной линейной комбинации функций, то система функций называется линейно независимой на данном интервале.

Примеры.

1. Рассмотрим систему из трех функций, определенных на R:

Согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: sin2 x cos2 x 1 0 на R.

Следовательно, эта система функций линейно зависима на R.

2. Рассмотрим систему из двух функций, заданных на (; ) : f1(x) sin x ; f2 (x) cos x .

Предположим, что для некоторых 1, 2 выполняется тождество

1 sin x 2 cos x 0 .

функций f1(x), f2 (x) линейно независима на интервале (; ).

Для исследования системы векторов на линейную зависимость используется стандартный критерий. Учитывая, что сейчас рассматриваются векторы конкретной структуры, постараемся получить более удобный в работе признак линейной зависимости этих векторов.

107

Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков

Докажем следующее необходимое условие линейной зависимости системы функций.

Теорема 1. Если система функций f1(x), f2 (x),..., fn (x) Ln (a,b) линейно зависима на интервале (a; b), то

W[ f1,..., fn ](x) 0 на (a; b).

Доказательство. Докажем, что при условиях теоремы W (x0 ) 0

для любой точки x0 (a; b).

Так как система функций линейно зависима на (a; b), то одна из них является линейной комбинацией остальных. Пусть это будет функция fn. Тогда имеет место система равенств:

Гёне-Вронский, Юзеф (1778 – 1853) – польский математик.

108

§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Запишем определитель Вронского в точке x0:

В силу равенств (*) в этом определителе последний столбец является линейной комбинацией предыдущих. Следователь-

но, W (x0 ) 0 . ►

Заметим, что утверждение, обратное к теореме 1, не имеет места.

Перейдем к исследованию свойств решений линейных однородных уравнений высших порядков.

2. Простейшие свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения

инейные дифференциальные уравнения высших порядков определяются аналогично линейным уравнениям первого порядка.

непрерывны на интервале (a; b).

109