Lesn3_Integraly

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Mi(xi, yi) Di (будем называть ее отмеченной точкой) и вычислим значение функции в этой точке f(xi, yi).

Заменим на области Di функцию f(x, y) постоянной f(x, y) = f(xi, yi). Ее цилиндроид будет являться прямым цилиндром с тем же основанием Di. Объем прямого цилиндра равен f(xi, yi) si. Для объема Vi цилиндроида с основанием Di функции f(x, y) получаем приближенное равенство Vi f(xi, yi) si.

Равенство будет тем точнее, чем меньше будет размер малых областей Di. Этот размер охарактеризуем следующим образом. Рассмотрим на плоскости множество всех кругов, содержащих область

области так, чтобы диаметр разбиения d стремился к нулю. Переходя в равенстве (*) к пределу при d 0, получим точное значение объема V цилиндроида с основанием D функции f(x, y):

Пределы вида (**) возникают при решении многочисленных прикладных задач. Перейдем к изучению их свойств, отвлекаясь от конкретного содержания соответствующих задач. Помня только, что надо получить числовую характеристику функции, заданной в некоторой плоской области.

150

§1. Понятие двойного интеграла.

2. Понятие двойного интеграла

Пусть в области D задана некоторая функция f(x, y). Проделаем следующие операции.

1.Разобьем область D на произвольные малые области

D1, D2,…, Dn так, чтобы они не имели общих внутренних точек. Обозначим через si площадь малой области Di.

2.Выберем в каждой малой области Di произвольную отмеченную точку (xi, yi) и вычислим значение функции f(xi, yi) в этой точке.

3.Составим сумму

Определение 2. Сумма Sn называется интегральной суммой Римана для функции f(x, y) в области D.

Заметим, что интегральная сумма еще не дает характеристики функции f(x, y) на области D. Сумма зависит от выбора разбиения области и от выбора отмеченных точек. Поэтому для функции на данной области можно построить бесконечное число различных интегральных сумм.

Чтобы избавиться от зависимости интегральной суммы от выбора разбиения области и отмеченных точек, осуществим предельный переход в этой сумме.

4. Будем последовательно разбивать область D так, что-

151

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Отметим, что предел интегральных сумм отличается от предела функции, но обладает его основными свойствами.

Замечание. Из определения 3 следует, что предел I интегральных сумм функции f(x, y), если он существует, не зависит от способа разбиения области D и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется областью D и функцией f(x, y).

Определение 4. Предел интегральных сумм функции f(x, y) по области D при d 0, если он существует и конечен,

называется двойным интегралом Римана от функции f(x, y) по области D. Функция f(x, y) в этом случае называется интегрируемой на области D.

Так как интеграл не зависит от выбора разбиения области D, то ее часто разбивают на малые области прямыми, параллельными осям координат. Тогда для площади прямоугольных малых областей выполняется равенство si xi yi . В соответствии с

этим для двойного интеграла используется обозначение:

f (x, y)dxdy .

D

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме:

Естественно возникает вопрос о существовании двойного интеграла для данной функции. Рассмотрим одно из условий интегрируемости функции на области.

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция f(x, y) непрерывна на замкнутой ограниченной области D, то она интегрируема на этой области.

Доказательство опускаем.

Вернемся к решению геометрической задачи об объеме пространственной области.

152

§1. Понятие двойного интеграла.

Замечание. (Геометрический смысл двойного интеграла).

Двойной интеграл от функции f(x, y), положительной и непрерывной на замкнутой ограниченной области D, равен объему V цилиндроида этой функции на области D:

Вычисление двойного интеграла непосредственно по определению весьма сложно. Поэтому постараемся получить более простые способы вычисления. Но для этого сначала необходимо исследовать свойства этого интеграла.

§2. Свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла будем исследовать предполагая, что все рассматриваемые интегралы существуют. Исследование проведем по аналогии с исследованием свойств определенного интеграла.

сти D на высоту 1

цилиндроида, то есть он равен площади области D.

Свойство 2. Двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов по той же области от слагаемых:

153

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

f (x, y) g(x, y) dxdy f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy.

D D D

Свойство 3. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла:

Последние два свойства называются свойствами линейности.

Свойство 4 (аддитивности). Пусть область D разбита на области D1 и D2, которые не имеют общих внутренних точек. Тогда выполняется равенство

цилиндроидов функции с основаниями D1 и D2.

Свойство 5 (монотонности). Если в области D выполняется неравенство f (x, y) g(x, y) , то большей функции соот-

ветствует больший двойной интеграл:

Геометрически: если функции неотрицательны на области D, то большей функции соответствует больший по объему цилиндроид с основанием D.

Свойство 6 (оценка интеграла). Пусть функция f(x, y) непрерывна на замкнутой ограниченной области D. По теореме Вейерштрасса в этой области функция принимает наименьшее m и наибольшее M значения. Поэтому в области D выполняется неравенство m f (x, y) M . Тогда

согласно свойству монотонности двойного интеграла имеет место неравенство

154

§2. Свойства двойного интеграла.

Геометрически: если функция f(x, y) неотрицательна на области D, то объем цилиндроида функции с основанием D больше объема прямого цилиндра с тем же основанием D, вписанного в цилиндроид, но меньше объема прямого цилиндра с основанием D, описанного около цилиндроида.

Свойство 7 (теорема о среднем). Пусть функция f(x, y) непрерывна на замкнутой ограниченной области D. Тогда существует точка (x0, y0) D, для которой выполняется равенство

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует точка (x0, y0) D, для которой справедливо равен-

ство 1 f (x, y)dxdy f (x0 , y0 ) . Отсюда вытекает доказывае-

SD D

мое равенство.

Геометрически: если функция f(x, y) неотрицательна на области D, то объем цилиндроида функции с основанием D равен объему прямого цилиндра с тем же основанием D, высота которого равна f(x0, y0).

Мы рассмотрели основные свойства двойного интеграла. Опираясь на них, можем получить основной способ вычисления двойного интеграла.

155

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Лекция 18

§3. Вычисление двойного интеграла

вдекартовых координатах

Вопределенном интеграле область интегрирования является промежутком из области определения подынтегральной функции. Для любого такого промежутка, при знании первообразной подынтегральной функции, определенный интеграл можно вычислить согласно формуле Ньютона-Лейбница.

Вдвойном интеграле область интегрирования может быть сложной. Поэтому не существует вычислительной формулы, позволяющей вычислить двойной интеграл по произвольной области.

Рассмотрим области специального вида, для которых двойной интеграл все-таки можно вычислять по определенным формулам.

Определение 1. Пусть функции h(x), H(x) непрерывны на отрезке [a; b] и удовлетворяют на нем неравенству

ется одной функцией, а верхняя – другой функцией (тоже одной).

156

§3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Имеет место следующее утверждение.

Доказательство проведем, используя геометрический смысл

Возьмем произвольную точку x0 [a; b]. Рассмотрим сечение цилиндроида плоскостью, проходящей через x0 ортогонально оси Ox. В сечении получим фигуру MNPQ. Она является криволинейной трапецией с основанием [h(x0); H(x0)] функции

157

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

прерывна на этом отрезке.

По теореме о вычислении объема пространственной области с помощью определенного интеграла получаем объем цилиндроида функции f(x, y):

Этот объем вычисляется и с помощью двойного интеграла

V f (x, y)dxdy .

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегра-

лов. Они называются повторными интегралами.

ласть интегрирования D1 проецируется по вертикали на отрезок [a, b] = [0, 2]. Ее нижняя граница описывается функцией y = h(x) = x2, а верхняя – функцией y = H(x) = 4. Следовательно, область D1 является простой по вертикали.

Согласно равенству (3) получаем:

Заметим, что в записи двойного интеграла переменные x

158

§3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

и y выступают симметрично. Это позволяет получить для двойного интеграла вычислительную формулу, двойственную формуле (3).

Определение 1 . Пусть функции l(y), r(y) непрерывны на отрезке [c; d] и удовлетворяют на нем неравенству

Теорема 1 . Пусть функция f(x, y) непрерывна на простой по горизонтали области D, ограниченной линиями (5). Тогда имеет место равенство

Пример 2.

Выразить двойной интеграл xydxdy через повторные, если

D

область D ограничена линиями y = x 4, y2 2x .

Найдем сначала точки пересечения граничных линий. Подстановка дает квадратное уравнение относительно абсцисс точек пересечения: (x 4)2 = 2x. Отсюда получаем точки A(2; 2), B(8; 4).

159