Lesn3_Integraly

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

ную область D и нижняя граница области V описывается одной функцией, а верхняя - другой функцией (тоже одной).

Иначе: пространственная область является простой по вертикали, если она является теоретико-множественной разностью двух цилиндроидов с одним и тем же основанием.

Вычисление тройного интеграла по области, простой по вертикали выполняется в соответствии с теоремой.

Теорема 2. Пусть пространственная область V, является простой по вертикали и ограничена поверхностями (6). Пусть функция f(x, y, z) непрерывна в области V . Тогда

Доказательство опустим.

Интегралы в правой части равенства (7) называются повторными. Для них часто используется другая запись:

170

171

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

предлагается вычислить самостоятельно.

Мы рассмотрели вычисление тройного интеграла для области, простой по вертикали. Ее называют еще простой относительно оси Oz. Аналогичным образом можно вычислять тройной интеграл для области, простой относительно оси Ox или оси Oy.

Перейдем к рассмотрению замены переменных в тройном интеграле.

§6. Замена переменных в тройном интеграле

1. Замена переменных. Общий случай

Пусть функция u = f(x, y, z) непрерывна в замкнутой ограниченной области V пространства R 3. Рассмотрим тройной интеграл f (x, y, z)dxdydz.

V

Чтобы получить тройной интеграл от новой функции, нужно чтобы она зависела от трех переменных, обозначим их как u, v, w. По аналогии с формулой замены переменных в двойном интеграле представим аргументы x, y, z функции f(x, y, z) как функции переменных u, v, w:

определены на одной и той же области V 1 R 3 и задавать взаимно однозначное отображение : V 1 V по правилу

: (u, v, w) (x, y, z) = (x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)).

Для задания такого отображения достаточно чтобы функ-

172

§6. Замена переменных в тройном интеграле.

ции x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w) имели в области V 1 непрерывные частные производные первого порядка и неравный нулю

определитель Якоби

Введем краткое обозначение для сложной функции: f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) F(u, v, w) .

Доказывается, что при данных предположениях относительно функций x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w), f(x, y, z) имеет место равенство тройных интегралов:

Равенство (3) называется формулой замены переменных в

тройном интеграле.

Рассмотрим теперь замену переменных в тройном интеграле для двух частных случаев.

2.Переход в тройном интеграле

кцилиндрической системе координат

ассмотрим сначала цилиндрическую систему координат. Возьмем в трехмерном геометрическом пространстве с декартовой системой координат произвольную точку M (x, y, z). Ее положение однозначно определяется проекцией M1(x, y, 0) на плоскость xOy и аппликатой z (см. рис.).

На координатной плоскости xOy точку M1 можно задать не только декартовыми координатами (x, y), но и полярными ( , ). Тогда точку M можно задать не только тройкой чисел (x, y, z), но и тройкой чисел ( , , z).

Числа , , z называются цилиндрическими координата-

ми точки M. Запись M( , , z).

Цилиндрические координаты точек могут принимать сле-

173

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

той . Уравнение

= c определяет цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является окружность в плоскости xOy с центром в начале координат радиуса R

= c.

Формулы перехода от декартовой системы координат к цилиндрической имеют вид:

вяжем с функциями (4) замену переменных в тройном интеграле. Вычислим якобиан функций (он называется якобианом перехода к цилиндрической системе координат):

Из равенств (5) следует, что функции (4) имеют на всей плоскости непрерывные частные производные первого порядка. Далее, в цилиндрической системе координат для всех точек про-

174

§6. Замена переменных в тройном интеграле.

странства, кроме начала системы координат, выполняется нера-

венство I(ρ, , z) = ρ > 0.

Наконец, отметим, что при отображении, определяемом функциями (4), точка M( , , z) переходит в точку M (x, y, z), то есть в себя. Следовательно, область V 1 есть та же область V,

но заданная в полярной системе координат.

Формула (3) замены переменных в тройном интеграле теперь принимает вид:

f (x, y, z)dxdydz f ( cos , sin , z) d d dz . (6)

V V

В левой части равенства область V описывается в декартовой системе координат, а в правой части равенства эта же область V описывается в цилиндрических координатах.

Пример 1.

Вычислить объем V области (V), ограниченной поверхностями z = 1, z x2 y2 (параболоид вращения).

z h( , ) 2 . Верхняя граница описывается функцией z H ( , ) 1. Обе функции определены на одно-

175

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

связной плоской области D ‒ на единичном круге с центром в начале координат. Поэтому область V является простой по вертикали.

Запишем тройной интеграл через повторные:

Вычислим внутренний определенный интеграл:

Перейдем к вычислению двойного интеграла. Область (V) проецируется вдоль оси Oz на круг D плоскости xOy. В полярных координатах он имеет такое описание: 0 1, 0 2 .

Переходя от двойного интеграла к повторным, получаем:

Итак, V = 2 .

Другой вид замены переменных в тройном интеграле связан с переходом в геометрическом пространстве от декартовой системы координат к сферической.

3.Переход в тройном интеграле

ксферической системе координат

Предлагается рассмотреть самостоятельно.

176

§7. Криволинейный интеграл I рода.

Лекция 20

§7. Криволинейный интеграл I рода

1. Понятие криволинейного интеграла I рода

Понятие криволинейного интеграла I рода является обобщением определенного интеграла. Область определения подынтегральной функции - не отрезок оси, а произвольная плоская кривая. Поэтому сама функция зависит от двух аргументов.

При определении используются совершенно аналогичные понятия и мы не будем давать их строгого определения. Рассмотрим только развернутое определение самого криволинейного интеграла.

от выбора отмеченных точек. Чтобы избавиться от этой зависимости, осуществим предельный переход в интегральной сумме.

4. Будем осуществлять последовательно разбиения кривой L так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Как и при

177

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

определении определенного интеграла вводится понятие предела I интегральных сумм при d 0. (Дословное повторение).

Предел интегральных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения кривой и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется функцией f(x, y) и кривой L.

Определение 1. Предел интегральных сумм (1), если он существует и конечен, называется криволинейным интегралом I рода функции f(x, y) по кривой L. Функция f(x, y) в этом случае называется интегрируемой по кривой L.

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме:

Естественно возникает вопрос о существовании криволинейного интеграла для данной функции. Рассмотрим достаточное условие интегрируемости функции по кривой.

Определение 2. Плоская кривая

y = y(x), x [a; b]

называется гладкой кривой, если функция y(x) имеет на отрезке [a; b] непрерывную производную.

Непрерывная кривая называется кусочно-гладкой кривой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг.

Замечание. Для плоской кривой, заданной параметрически:

требование гладкости означает существование на отрезке [ ; ] непрерывных производных x (t), y (t) . Аналогичным образом вводится понятие пространствен-

178

§7. Криволинейный интеграл I рода.

ной гладкой кривой.

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция непрерывна на ограниченной кусочногладкой кривой, то она интегрируема по этой кривой.

Доказательство опускаем.

Обратимся к физической интерпретации криволинейного интеграла.

Рассмотрим решение физической задачи.

Задача. Дана плоская материальная кривая L. Известна ее непрерывная плотность распределения массы (x, y). Требуется найти массу m этой кривой.

Решение данной задачи можно выполнить по аналогии с решением задачи о массе пространственного тела. Проделаем следующие операции.

1.Разобьем дугу кривой на произвольные малые дуги L1, L2,…, Ln. Обозначим через li длину малой дуги Li.

2.Выберем на каждой такой дуге произвольную точку

Mi(xi, yi) и вычислим значение функции в этой точке: (xi, yi). Заменим на дуге Li функцию на постоянную (x, y) = (xi, yi).

Тогда масса малой дуги Vi приближенно равна ( xi, yi) li.

3. Для массы m всей кривой получаем приближенное равенство

4. Будем осуществлять последовательно разбиения кривой L так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Переходя в равенстве (*) к пределу при d 0, получим точное значение массы кривой:

L

Равенство (3) выражает

179