Lesn3_Integraly

Глава VIII. Элементы теории функций комплексной переменной

этому ось Ox называется действительной осью.

Комплексные числа вида z = 0 + yi = yi называются мнимыми числами. Они лежат на оси Oy. Поэтому ось Oy назы-

вается мнимой осью.

Координатная плоскость, точки которой служат изображениями комплексных чисел, называется комплексной плоско-

стью или плоскостью Гаусса.

еометрические объекты на плоскости можно рассматривать как в декартовой системе координат, так и в полярной. В полярной системе каждая точка характеризуется полярными расстоянием и углом. Введем аналогичные характеристики для комплексных чисел.

Определение 3. Длина радиус-вектора OM комплексного числа

Определение 4. Угол между положительным направлением оси Ox и радиус-вектором числа z 0, отсчитываемый против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа z.

Обозначение: Arg z.

Очевидно, аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного 2 .

Значение аргумента числа z, удовлетворяющее усло-

вию < , называется главным значением аргумента и

обозначается через arg z.

(Иногда главным значением аргумента считают угол , удовлетворяющий условию 0 < 2 ).

Таким образом,

240

§1. Множество комплексных чисел

Как видно из рисунка, главное значение аргумента числа z можно определить из равенств

дуль и главное значение аргумента определяются однозначно. Справедливо и обратное утверждение. Если известны модуль | z | и аргумент числа z, то само число определяется однозначно.

Действительно, непосредственно из равенств (5) вытекает:

ассмотрим операции на множестве комплексных чисел.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел определяется как обычные сложение, вычитание и умножение многочленов первой степени, только при записи в стандартном

241

Глава VIII. Элементы теории функций комплексной переменной

виде результата умножения учитывается равенство i 2 = –1.

Например:

3.(3 2i) ( 1 i) (3 1) ( 2 1)i 2 i .

4.(3 2i) ( 1 i) (3 ( 1)) ( 2 1)i 4 3i .

5.(3 2i) ( 1 i) 3( 1) 3i ( 2i)( 1) ( 2i)i =

=3 3i 2i 2i 2 3 3i 2i 2( 1) 1 5i .

Сложение и умножение многочленов обладают переме-

стительным и сочетательным свойствами, имеет место распре-

делительным свойство умножения относительно сложения. Такими же свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел.

Связь модуля комплексного числа со сложением и умножением комплексных чисел выражается, как и для действительных чисел, соотношениями:

Неравенство (9) вытекает из свойства сложения векторов, а равенство (10) - из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме (см. (18)).

Отношение сопряженности согласуется со сложением и умножением комплексных чисел так:

Если комплексные числа отождествлять с радиусвекторами, то сложение комплексных чисел отождествляется с обычным сложением их радиус-векторов.

Для любого числа z существует единственное противоположное число z, которое представляется противоположным вектором (см. рис.).

Для определения операции деления комплексных чисел

242

§1. Множество комплексных чисел

Это позволяет ввести деление комплексных чисел:

В дальнейшем при выполнении операций над комплексными числами будем использовать различные формы их записи.

2. Различные формы записи комплексных чисел

Комплексные числа можно представлять в трех формах.

1. Алгебраическая форма комплексного числа.

Эта форма записи использовалась при определении комплексных чисел:

Такой формой записи комплексных чисел удобно пользоваться, как мы видели, при выполнении операций сложения, вычитания и умножения.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел получается так. Пусть z = x + iy, тогда из равенств (7) следует:

243

Глава VIII. Элементы теории функций комплексной переменной

Равенство (17) называется тригонометрической формой

записи комплексного числа.

Ясно, что сложение комплексных чисел в тригонометрической форме не имеет большого смысла. Рассмотрим, как умножаются комплексные числа в тригонометрической форме. Пусть

Умножим числа как записанные в алгебраической форме: z1z2 = | z1|| z2| (cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2) =

=| z1|| z2|[(cos 1cos 2 sin 1sin 2) + i (cos 1sin 2 + cos 2sin 1)] =

=| z1|| z2|[cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)].

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются.

Из равенства (18) вытекает правило возведения комплексного числа в натуральную степень n:

244

§1. Множество комплексных чисел

Действительно, пусть nz w | w | (cos i sin ) . Тогда

согласно определению корня получаем: w n = z. В тригонометрической форме это равенство имеет вид

| w |n (cos n + i sin n ) = | z |(cos + i sin ).

Отсюда вытекают равенства: | w |n = | z |, n = + 2k .

казать, что все корни располагаются в вершинах правильного

Равенство (22) называется формулой Муавра. Из этой формулы могут быть получены все формулы для тригонометрических функций кратных углов.

3. Показательная форма комплексного числа

При записи комплексных чисел часто используется

Она выражена через тригонометрические функции и наследует многие их свойства. Например, она имеет период 2 . Вместе с тем, данная функция обладает всеми свойствами пока-

245

Глава VIII. Элементы теории функций комплексной переменной

зательной функции. Это и отражено в ее обозначении. Используя тригонометрическую форму (17) комплексного

числа z и функцию Эйлера, это число можно представить в виде

Равенство (24) называется показательной формой записи комплексного числа. В этой записи, как и в тригонометрической, используются модуль и аргумент комплексного числа. Поэтому показательная форма комплексного числа используется в тех же ситуациях, что и тригонометрическая.

Например, полученные ранее соотношения (18) - (21) можно записать и в показательной форме. При такой записи они принимают более компактный вид. Например, равенство (18):

z1 z2 | z1 | | z2 | ei( 1 2 ) .

3. Множество комплексных чисел как метрическое пространство

Множество C комплексных чисел обладает важным отличием от множества действительных чисел R. В C отсутствует отношение линейного порядка. Поэтому сравнение комплексных чисел выполняется только по модулю: | z1| | z2|.

Через модуль выражается расстояние между точками.

Определение 6. Расстоянием между точками z1, z2 комплексной плоскости называется число, определяемое равенством:

d (z1 , z2 ) (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 | z1 z2 | . (25)

Из равенства (25) вытекает достаточно простая запись на комплексной плоскости уравнения окружности с центром в точке z0 и радиусом R:

Для удобства исследований множество комплексных чисел

246

§1. Множество комплексных чисел

пополняется одним особым числом. Оно называется бесконеч-

кость, пополненная точкой , называется расширенной ком-

плексной плоскостью.

4. Решение алгебраических уравнений

ополнение множества действительных чисел комплексными числами позволяет решить одну из проблем теории алгебраических уравнений.

Теорема 1. (Основная теорема алгебры).

Всякое алгебраическое уравнение степени n

zn a1zn 1 ... an 1z an 0 ,

где a1,…, an C , имеет в C ровно n корней, различных или совпадающих, действительных или комплексных.

Доказательство опустим.

Теорема 2. Пусть комплексное число z0 является корнем многочлена

Pn (z) zn a1zn 1 ... an 1z an ,

тогда имеет место равенство

Pn(z) = (z z0)Pn -1(z).

Доказательство опустим.

247

Глава VIII. Элементы теории функций комплексной переменной

Следствие 1. Во множестве комплексных чисел любой многочлен Pn(z), n > 1 можно представить в виде произведения

l

Pn (z) (z zk ) sk .

k 1

Сумма всех показателей sk равна степени n многочлена. Число sk называется кратностью корня zk. Если sk = 1, то корень называется простым.

ассмотрим свойства многочленов с действительными коэффициентами.

Теорема 3. Пусть комплексное число z является корнем много-

члена Pn(x) с действительными коэффициентами, тогда и сопряженное число z является его корнем.

Доказательство вытекает из свойств сопряженных чисел.

Следствие 2. Любой многочлен Pn(x) с действительными коэффициентами разлагается на множители вида

тельными коэффициентами имеет два различных или совпадающих корня, которые находятся по обычной формуле корней квадратного уравнения

По формуле корней квадратного уравнения получаем:

248

§1. Множество комплексных чисел

z1,2 1 2i .

Из следствия 1 вытекает, что, как и в случае действительных корней, имеет место разложение квадратного трехчлена:

az2 bz c a(z z1 )( z z2 ) .

На этом мы закончим первое знакомство с комплексными числами. Перейдем к исследованию функций, определенных на множествах комплексных чисел.

249