Lesn3_Integraly

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Подставляя найденные значения интегралов в равенство (*), получаем:

Итак, криволинейный интеграл II рода, независящий от формы пути интегрирования, вычисляется по формуле (7). ►

Рассмотрим условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависит от формы пути интегрирования.

Теорема 3. Пусть в интеграле Pdx Qdy функции P(x, y) и

AB

Q(x, y) имеют в односвязной области D непрерывные частные производные первого порядка. Тогда для этой области эквивалентны следующие условия:

1. Интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

2. Pdx Qdy 0 для любого контура C.

С

3. Подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y):

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y).

сти D не зависит от формы пути интегрирования. Возьмем произвольный контур C D, точки A, B на нем и вспомогательные

200

§10. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

точки M, N. Имеют место равенства

1 2. Пусть Pdx Qdy 0 для любого контура C D.

С

Возьмем в области D произвольные пути интегрирования AMB, ANB, связывающие точки A и B. Будем предполагать, что они образуют контур C = AMBNA. Рассмотрим разность интегралов:

Таким образом, имеет место равенство

201

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Оно означает, что значение интеграла полностью определяется выбором только начальной и конечной точек пути интегрирования, а не выбором формы пути, связывающего эти точки.

Согласно условию 3 теоремы 3 криволинейный интеграл II рода, независящий от формы пути интегрирования, называют

криволинейным интегралом от полного дифференциала. Равенство (8) называют формулой Ньютона-Лейбница для

криволинейного интеграла от полного дифференциала.

авенства (7) и (8) дают новый способ нахождения функции u(x, y) по ее полному дифференциалу:

Доказательство. В равенстве (8) зафиксируем точку A(x0, y0). Значение функции u(x, y) в этой точке обозначим через C: u(x0 , y0 ) С . Точку B возьмем текущей: B(x, y).

Равенство (8) перепишем так:

B

u(x, y) = P(x, y)dx Q(x, y)dy + C.

A

Учтем координаты точек A, B и запишем интеграл согласно равенству (7). В результате получим равенство (9). ►

Точку A(x0, y0) выбирают из соображений удобства вычислений. Чаще всего за A берут начало системы координат.

заключение параграфа отметим, что аналогично криволинейному интегралу II рода по плоской кривой рассматривается криволинейный интеграл II рода по пространственной кривой

P(x, y, z)dx Q(x, y.z)dy R(x, y, z)dz .

AB

Для него имеют место свойства и соотношения, аналогичные рассмотренным для интеграла по плоской кривой.

202

§11. Поверхностный интеграл II рода.

Лекция 22

§ 11. Поверхностный интеграл II рода

Поверхностный интеграл II рода определяется только для двусторонней (ориентированной) поверхности. Рассмотрим это понятие поподробнее.

1. Односторонние и двусторонние поверхности

Возьмем на поверхности S произвольный контур C, не пересекающий границы этой поверхности. На контуре возьмем произвольную точку M. Построим в этой точке вектор n нормали к поверхности.

M в исходное положение направление вектора нормали либо совпадет с исходным направлением, либо изменится на противоположное.

Определение 1. Если на поверхности существует хотя бы один контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней. В противном случае поверхность называется двусторонней.

Примером односторонней поверхности служит так называ-

емый лист Мебиуса .

Мёбиус А. Ф. (1790 – 1868), немецкий математик и астроном.

203

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Рассматриваемая сторона двусторонней поверхности фиксируется заданием в каждой точке этой поверхности соответствующего вектора нормали n .

Примерами двусторонних поверхностей служат любая плоскость, любая гладкая поверхность S, которая является графиком функции z(x, y), определенной в некоторой области D плоскости xOy. (Поверхность S имеет явное задание z = z(x, y), (x, y) D).

Для гладкой поверхности z = z(x, y) можно говорить о верхней и нижней сторонах. Можно доказать, что для одной стороны такой поверхности вектор нормали n во всех точках поверхности составляет с осью Oz острый угол (cos > 0). Эта сторона называется верхней. Вектор нормали другой стороны всегда составляет с осью Oz тупой угол (cos < 0), эта сторона называется нижней.

Примерами двусторонних замкнутых поверхностей служат сфера, эллипсоид. Для замкнутой двусторонней поверхности имеет смысл говорить о внутренней и внешней сторонах.

Обратимся теперь к понятию поверхностного интеграла II рода. Чтобы понять, как он определяется, рассмотрим сначала решение одной физической задачи.

2.Задача о потоке жидкости через поверхность

Внекоторой пространственной области имеется установившееся течение жидкости, то есть течение, при котором скорость движения жидкости в фиксированной точке области не меняется со временем. В области задана двусторонняя поверхность с выбранной на ней стороной. Предполагается, что жидкость свободно протекает через заданную поверхность.

Определение 2. Количество жидкости (объем), протекающей за единицу времени через поверхность в выбранную сторо-

ну, называется потоком жидкости через поверхность.

Задача. В пространственной области V имеется установившееся течение жидкости. В каждой точке M области задан век-

204

§11. Поверхностный интеграл II рода.

тор скорости v (M ) движения частиц жидкости. В области

задана также двусторонняя поверхность S с выбранной на ней стороной n(M ) . Требуется найти величину Ф потока

жидкости через поверхность S в выбранную ее сторону.

◄ Решение. а). Рассмотрим сначала решение задачи в простейшем случае. Скорость v течения жидкости во всех точках области V одна и та же. Поверхность является плоской областью S0, плоскость которой перпендикулярна вектору скорости v .

В этом случае, если площадь поверхности S0 равна 0, то поток Ф жидкости через поверхность будет равен Ф = | v | 0 .

б). Это же количество жидкости будет протекать и через

получаем:

Ф = | v | 0 = | v | cos = (| v | | n | cos ) = (v, n) .

Таким образом, Ф (v, n) .

в). Перейдем к общему случаю. Вектор v зависит от по-

205

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

женное равенство

Это равенство будет тем точнее, чем меньше будет диаметр d разбиения поверхности S.

4. Будем осуществлять последовательные разбиения поверхности S так, чтобы диаметр разбиения d стремился к нулю. Переходя в равенстве (*) к пределу при d 0, получим точное значение потока жидкости Ф через поверхность S в выбранную ее сторону:

Отвлечемся теперь от физического содержания задачи и введем понятие поверхностного интеграла II рода.

3. Понятие поверхностного интеграла II рода

так, пусть в пространстве задана поверхность S с фиксированной стороной n(M ) . В каждой точке M S задан единичный вектор нормали

n(M ) (cos ,cos ,cos ) .

206

§11. Поверхностный интеграл II рода.

Как и при решении задачи о потоке жидкости проделаем следующее.

1. Разобьем S на малые поверхности Si площадью i.

2.Выберем на них отмеченные точки Mi и вычислим скалярные произведения v(Mi ), n(Mi ) .

3.Построим сумму Sn вида (*):

n

Sn v (Mi ), n(Mi ) i .

i 1

Сумма Sn называется интегральной суммой II рода векторной функции v (M ) по поверхности S.

Интегральная сумма еще не дает характеристики векторной функции v (M ) на поверхности S. Сумма зависит от выбора

разбиения поверхности и от выбора отмеченных точек. Чтобы избавиться от этой зависимости, осуществим предельный переход в интегральной сумме.

4. Будем последовательно разбивать поверхность S так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Как и при определении криволинейного интеграла II рода вводится (дословным повторением) понятие предела I интегральных сумм при d 0.

Обозначение: I lim Sn .

d 0

Оказывается, если предел интегральных сумм существует, то он не зависит от способа разбиения поверхности и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется векторной функцией v (M ) на поверхности S.

Определение 3. Предел интегральных сумм Sn при d 0 , если он существует и конечен, называется поверхностным интегралом II рода векторной функции v (M ) по по-

верхности S.

Обозначение интеграла определяется записью интеграль-

207

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

ной суммы в векторной форме:

(v, n )ds .

S

Наряду с этим обозначением используется обозначение в координатной форме:

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy .

S

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме:

стественно возникает вопрос о существовании поверхностного интеграла II рода для данных функций. Для ответа на этот вопрос нам понадобится еще одно понятие.

Определение 4. Поверхность z = z(x, y) называется гладкой, если функция z(x, y) имеет на области определения непрерывные частные производные первого порядка.

Непрерывная поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких поверхностей.

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны на ограниченной кусочно-гладкой поверхности S, то существует поверхностный интеграл II рода

Pdydz Qdxdz Rdxdy .

S

Доказательство опускаем.

Рассмотрим

физический смысл поверхностного интеграла II рода.

Если векторная функция (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) является вектором скорости частиц жидкости, заданным на поверхности S, то поверхностный интеграл II рода (2) равен пото-

208

§11. Поверхностный интеграл II рода.

ку Ф жидкости через поверхность S в выбранную ее сторону:

Утверждение вытекает из решения задачи о потоке жидкости и определения поверхностного интеграла II рода.

Обратимся к исследованию свойств интеграла.

4. Свойства поверхностного интеграла II рода

Начнем с рассмотрения частных ситуаций.

Если v(M ) || Ox , то Q(x, y, z) = R(x, y, z) 0. Тогда поверх-

краткое обозначение P(x, y, z)dydz . Будем его называть пото-

S

ком жидкости через поверхность S в направлении оси Ox.

Свойство 2. Если поверхность S является цилиндрической, образующие которой параллельны оси Oz (см. рис.), то

R(x, y, z)dxdy =0.

S

209