3.13. Основные элементарные функции
1. Степенная:
2. Показательная:
,
3. Логарифмическая:
,
4. Тригонометрические:
,
,
,
5. Обратные тригонометрические функции:
,
,
,
3.14. Степени и корни
Определение.
Арифметическим
корнем n-ой
степени из
неотрицательного
числа a
(обозначается
)
называется неотрицательное
число b,
n-я
степень которого даёт a.
Из определения следует, что арифметический корень обладает двумя особенностями:
!) подкоренное
число
;
2) сам корень
Ниже приведены свойства арифметических корней.
1. |
|
9. |
|
2. |
|
10. |
|
3. |
|
11. |
|
4. |
|
12. |
|
5. |
|
13. |
|
6. |
|
14. |
|
7. |
|
15. |
|
8.
|
|
16. |
|
/ условно
3.15. СТЕПЕННАЯ
ФУНКЦИЯ
,
где n- любое действительное число.
Рассмотрим некоторые случаи.
1). n- целое положительное число
Все параболы проходят через точки (0;0),(1 ;1), (-1 ;1). |
Графиками этих функций являются параболы соответствующего порядка. Примеры:
(2): Для
характеристики свойств функций
использован график функции (1):
|
Графиком
функции
|
, где n– нечетное число. Графиками этих функций также являются параболы соответствующего порядка. Примеры: (1):
;
(2):
;
(3): Функция нечётная. Все параболы проходят через точки (0;0), (1 ;1), (-1 ;-1). |
,
где n=2k
– четное
число.
;
(3):
;
(4):
.
является
парабола третьего
порядка (кубическая парабола),
-парабола
4-гопорядка и т.д.
;
(4):
2). n - дробное положительное число, меньшее единицы (0 < n < 1)
Все графики проходят через точки (0;0), (1;1). |
Примеры: (2): Для характеристики свойств функций изображен график функции (1): . |
|
, где и - нечётное число
Примеры:
(1):
;(2): Функция нечётная. Все параболы проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1). |
,
где
и
-
чётное
число.
;
(3):
;
(4):
.
(3) :
(4) :
3). Функции, обратные степенной функции
Все параболы проходят через точки (0;0), (1;1). |
Примеры: 1): , (2) : (3) : (4) : (2*) : (3*) : (4*) : . В
области
Функции
|
||
4 |
n- нечётное число. Примеры:
(1) :
(2):
Графиками данных функций являются гиперболы; оси координат являются их асимптотами. Все они проходят через точки (1;1), (-1;-1). |
||
Y
= x |
n- чётное число Примеры: (1):
Графиками данных функций |
||
также являются гиперболы. Все они проходят через точки (1;1), (-1;1). |
|||
|
Примеры: В области (0; + ) все приведённые ниже функции убывают (являются монотонными), следовательно, они имеют обратные функции.
(1):
Функции (2):
(3): и (3*):
являются взаимно обратными. |
||
Y=X
y= x |
|||
все эти функции являются возрастающими.
Следовательно, в данной области они
имеют обратные
функции.
и
;
и
и
т.д.
являются
взаимно
обратными,
их графики симметричны относительно
биссектрисы 1-го координатного угла
(
).
).
n
–
целое положительное число
;
;
(3):
.
;
(2) :
;
(3):
.
-
равнобочная
гипербола, она обратна сама себе.
и (2*):
;