- •Математические обозначения. Таблицы
- •Латинский алфавит
- •1.2. Греческий алфавит
- •1. 3. Математические обозначения
- •Некоторые исторические факты математических символов
- •Важнейшие постоянные
- •1.8. Некоторые степени чисел 2, 3, 5
- •1.9. Факториалы
- •Перевод градусной меры в радианную
- •Арифметика
- •Признаки делимости
- •2.2. Средние величины
- •Действительные числа
- •Действия над дробями
- •Пропорции
- •3.4. Абсолютная величина действительного числа (модуль)
- •Формулы сокращенного умножения
- •Квадратные уравнения
- •Разложение на множители
- •Аргумент, функция
- •Элементы поведения функции
- •Возрастающие и убывающие функции (монотонные функции)
- •Четные и нечётные функции
- •Периодические функции
- •Корни функции
- •Чтение графиков функций
- •3.11. Обратная функция
- •Проблема существования обратной функции
- •3.13. Основные элементарные функции
- •3.14. Степени и корни
- •3.16. Целая рациональная функция (или многочлен)
- •3.17. Квадратичная функция
- •3.18. Рациональная функция
- •3.19. Дробно-линейная функция
- •3.20. Показательная функция
- •3.21. Логарифмы. Логарифмическая функция
- •3.22. Гиперболические функции
- •Определения
- •Основные соотношения
- •3.22.3. Графики гиперболических функций
- •3.24. Соединения (размещения, перестановки, сочетания)
- •Бином ньютона
- •3.26. Комплексные числа
- •3.26.1. Комплексные числа в алгебраической форме
- •3.26.2. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •3.26.3. Показательная форма комплексного числа
- •3.27. Элементарные приёмы построения
- •3.27.1. Преобразования графиков
- •3.27.2. Сложение графиков
- •3.28. Графики некоторых функций, содержащие
- •3.29. Прогрессии
- •Арифметическая прогрессия
3.16. Целая рациональная функция (или многочлен)
,
- многочлен степени n; - коэффициенты многочлена, - коэффициент при старшем члене, - свободный член многочлена.
3.17. Квадратичная функция
Примером целой рациональной функции является квадратичная функция ; здесь - коэффициенты, причём , - любые числа.
Графиком функции является парабола.
Частные случаи:
a>0
a<0 |
Примеры: (1): ; (2): ; (3): ; (4): ; (5): ; (6): (8): ; (7): |
Общий случай: . Выражение - дискриминант, - корни квадратного трехчлена, - абсцисса вершины параболы.
x1 х0 x2
Дискриминант D > 0 – два различных корня (парабола пересекает ось Ох в двух точках): |
X1 ,2
Дискриминант D = 0 – корни равные (парабола касается оси Ох) :
|
Дискриминант D < 0 – действительных корней нет (парабола не пересекает и не касается оси Ох) |
3.18. Рациональная функция
Отношение двух многочленов называется рациональной функцией
.
Если , то рациональная функция (рациональная дробь) называется неправильной, если , то правильной.
Если дробь - неправильная, её всегда можно представить в виде , где дробь - правильная ( ). Этого можно достигнуть с помощью деления “ уголком”.
Пример.
|
3.19. Дробно-линейная функция
Простейшим случаем рациональной функции является дробно-линейная функция , где коэффициенты - любые числа и определитель . Это условие означает, что Графиком этой функции является гипербола со смещённым центром и асимптотами, параллельными осям координат.
Примеры.
|
|
Частным случаем дробно-линейной функции является функция . Её графиком является гипербола с центром в начале координат (асимптотами являются оси координат). По-другому функцию называют законом обратной пропорциональности, k – коэффициент пропорциональности.
|
|
3.20. Показательная функция
(0<a<1) ( a>1)
|
|
3.21. Логарифмы. Логарифмическая функция
1). Если то , ( а > 0, а 1, b>0 ).
Логарифмы, взятые по основанию 10, называются десятичными, а по основанию е = 2,718281828459...- натуральными и обозначаются, соответственно, lg , ln .
Из определения логарифмов имеем
- основное логарифмическое тождество.
2). Свойства логарифмов
8. - формула перехода к новому основанию |
11. ; 12. ; 13. При a > 1 если N > 1; если 0 < N < 1 При 0 < a < 1 наоборот, если N > 1; если 0 < N < 1 . |
Определение. Функция, обратная показательной функции , где , называется логарифмической функцией и обозначается
График логарифмической функции. Он симметричен графику
показательной функции относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов
,
|
|
4) Графики логарифмической функции при различных основаниях a