4. Дифференциальные операторы (оператора (набла), дивергенция функции divF, ротор функции rotF)

В механике было определение оператора (набла): , его действие на скалярную функцию называют градиентом этой функции .

Очевидно, что оператор-вектора (набла) можно умножать не только на скалярные функции, но и на векторные(например, напряжённость электростатического поля E(r)) – так как для векторов существует два типа произведений, то возникает две дополнительные дифференциальные операции с оператором .

Скалярное произведение оператора на векторную функцию F(r) называют дивергенцией этой функции divF(r)

_.

Векторное произведение оператора на векторную функцию F(r) называют ротором этой функции rotF(r)

5. Безвихревой характер электростатического поля

В екторное поле F, ротор которого не равен нулю rotF 0, называют вихревым полем – такое поле не имеет источников и его силовые линии замкнуты сами на себя.

П роверим, является ли электростатическое поле вихревым – вычислим ротор напряжённости такого поля

0

Следовательно:

Электростатическое поле безвихревое – ротор напряжённости такого поля равен нулю

Это означает:

Силовые линии электростатического поля никогда не замыкаются сами на себя, они начинаются или заканчиваются на заряде

6. Поток вектора напряженности

Р ассмотрим некоторую гладкую поверхность S – к любой точке такой поверхности, можно построить касательную сферу

Тогда, элементарный вектор dS, проведённый из точки касания(от центра касательной окружности) и равный по величине площади элементарной поверхности dS в окрестности точки касания называют вектором нормали к поверхности.

Если, при этом, в пространстве есть векторное поле F, то скалярное произведение FdS называют элементарным потоком вектора F .

Интегрируя по всей поверхности S, получим поток вектора F через поверхность S

Соответственно, для электростатического поля с напряжённостью E, величину , называют потоком вектора напряжённости через поверхность S

7. Теорема Гаусса (в том числе - для точечного заряда)

Р ассмотрим точечный заряд q – элементарный поток вектора напряжённости электростатического поля E через элементарную поверхность dS равен

По определению скалярного произведения (где - проекция вектора dS на радиус-вектор r).

Элементарный объёмный угол под которым видна площадка dS называют элементарным телесным углом .

Таким образом получаем теорему Гаусса для точечного заряда

Элементарный поток вектора напряжённости электростатического поля E точечного заряда q в заданный телесный угол зависит только от величины заряда q.

Р ассмотрим заряженное тело – для любого элементарного заряда dq внутри этого тела выполняется теорема Гаусса причём

Окружим заряженное тело замкнутой поверхностью S(не обязательно сферой), но так, чтобы dS лежала на S. Тогда элементарный поток для элементарного заряда dq через всю замкнутую поверхность S будет равен

Очевидно каждый элементарный объём заряженного тела(имеющий заряд dq) создаёт одинаковый поток через замкнутую поверхность S.

Интегрируя по всему объёму тела, получим Теорему Гаусса:

Поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность, охватывающую произвольное заряженное тело, пропорционален заряду тела.