1. Задачи, приводящие к понятию производной, о касательной, о скорости, касательной и нормали.

Пусть дана касательная К и на ней точка М.

Ранеекасательную к кривой определяли как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку. Но это определение имеет частный характер. Если попытаться применить его, например, к параболе y=ax2, то в начале координат О обе координатные оси подошли бы под это определение; между тем лишь ось х служит касательной к параболе в точке О! Возьмем на кривой (K) кроме точки М, еще точку M1 и проведем секущую ММ1. Когда точка М1 вдоль по кривой будет перемещаться, эта секущая будет вращаться вокруг точки М.Касательной к кривой(К) в точке М называется предельное положение МТ секущей MM1, когда точка М1 вдоль по кривой стремится к совпадению с М. Смысл этого определения состоит в том, что угол М1МТ стремится к нулю, лишь только к нулю стремится хорда ММ1. Применим для примера это определение к параболе y=ax2в произвольной ее точке М(х,у). Так как касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой коэффициент. Поставим себе задачей найти угловой коэффициент tgα касательной в точке М.

Придав абсциссе x приращение Δx, от точки М кривой перейдем к точке M1 с абсциссой x+Δx и ординатойy+Δy=a(x+Δx)2 (рис.а). Угловой коэффициент tgα секущей MM1 определится из прямоугольного треугольника MNM1. В нем катет MN равен приращению абсциссы Δx, а катет NM1есть соответствующее приращение ординаты Δy=a(2x·Δx+Δx2) так что tgφ=ΔxΔy=2ax+aΔx. Для полученияуглового коэффициента касательной нужно перейти здесь к пределу при Δx→0 , т.к. это и равносильно тому, что хорда ММ1 →  0. При этом φ→α и (по непрерывности функции tgφ) tgφ→tgα . Приходим к результату: tgα=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax.

Пусть материальная точка движется неравномерно и прямолинейно согласно закону s=s(t), где t— время, s— путь. Средняя скорость движения за время будет равна

. Чем меньше, тем точнеебудет описывать скорость в момент времени t, в связи с чем скоростью в момент времениt называют. Теперь разберём основное понятие высшей математики — понятие производной. О: Пустьf(x) определена в окрестности т.x. Тогда, еслито он именуется производной функцииf(x) и обозначается какf’(x). Действие по нахождению производной функции называется дифференцированием.  О: Функцию, которая имеет производную в каждой точке интервала (a,b), именуют дифференцируемой на интервале (a,b). Соотнося формулу скорости движения точки и определение производной, имеем физический смысл производной:v(t) =s’(t), то есть скорость прямолинейного неравномерного движения соответствует производной от пути по времени. Пример: Применяя определение, найти производную функций:.

  1) .Пользуясь II замечательным пределом для выражения в квадратных скобках, получаем, в частности.

Уравнение касательной. Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнениекасательной в точке x0. Из определения производной: Y’(x)=limΔx→0ΔxΔy Δy=f(x+Δx)−f(x).  Уравнениекасательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f’(x0)=tgα=k. Т.к. x0 и f(x0) принадлежит  прямой, то уравнениекасательной записывается в виде: y−f(x0)=f’(x0)(x−x0) , или y=f’(x0)·x+f(x0)−f’(x0)·x0.

Уравнение нормали

Нормаль - это перпендикуляр ккасательной (см. рисунок). Исходя из этого: tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0) Т.к. угол наклона нормали - это угол β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x). Точка (x0,f(x0)) принадлежит  нормали, уравнение примет вид: y−f(x0)=−1/f’(x0)(x−x0). Пример: Найти уравнение касательной и нормали к графикуy=lnxв точке с абсциссой x=e. Посколькуy’ = (lnx)’ = 1/x,y’(e) = 1/e,y(e) = 1 , то уравнение касательнойy– 1 = 1/y(x–e), уравнение нормалиy– 1 = -e(x–e).