6.3. Граничний аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

При співвідношенні параметрів контуру з конденсатора, котушки й резистора

,

де – критичний опір резистора R, корені характеристичного рівняння контуру дійсні, рівні й від’ємні:

.

Перехідний процес виходить аперіодичним, але граничним з коливальним процесом. Перехідний струм і перехідна напруга в цьому випадку мають вигляд:

;

.

При початкових умовах ; знаходимо: ; . З урахуванням знайдених постійних інтегрування одержуємо рішення:

Залежності i(t), u_C(t), u_L(t) такі ж, як для аперіодичного розряду.

6.4. Періодичний (коливальний) розряд конденсатора на контур з резистором і котушкою

При співвідношенні параметрів контуру із конденсатора, котушки й резистора

,

де – критичний опір кола, коре ні характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

,

де δ=R/(2L) – коефіцієнт загасання вільної складової;

– кутова частота власних коливань контуру;

Т₀ – період власних коливань.

Оскільки , то можна ввести позначення

Вільна складова перехідної напруги при комплексно-спряжених коренях (див. п.п. 2.1)

,

Для вільної складової струму маємо

.

З урахуванням початкових умов при , , з останніх двох рівнянь знаходимо константи інтегрування:

; .

і далі

.

Запишемо перехідні напруги й струм:

;

;

де ; .

Рис. 15

Залежності перехідних напруги u_С й струму i показані на рис. 15. Вони являють собою загасаючі синусоїди. Швидкість загасання коливань оцінюють декрементом коливань. Декремент коливання – це постійна, залежна від параметрів R, L, С и рівна відношенню амплітуд перехідних параметрів, що відстають один від одного на період коливання Т₀, наприклад:

.

Часто користуються логарифмічним декрементом коливання:

.

У граничному випадку чисто консервативної системи (R = 0) Δ = 1 коливання в паралельно з'єднаних конденсаторі й котушці носять незатухаючий характер. Період цих коливань дається формулою Томпсона , а частота незатухаючих коливань

.

7. Включення контуру з конденсатора, резистора, котушки на постійну напругу

Рис. 16

Розглянемо електромагнітні процеси, що виникають після замикання ключа в колі, зображеному на рис. 16 у припущенні, що конденсатор був попередньо не заряджений, тобто u(0_-) = 0. Характеристичне рівняння й вид його коренів будуть такими ж, як й у колі, розглянутому в п. 6.

7.1. Аперіодичний процес

Між розрядом конденсатора на резистор з котушкою й включенням на постійну напругу контуру (див. рис. 16) існує аналогія. Так само, як при розряді конденсатора, усталена (вимушена) складова струму дорівнює нулю. Усталена напруга на конденсаторі . Отже, початкове значення вільної складової напруги на конденсаторі

дорівнює . Тобто знаки постійних інтегрування А₁ й А₂ на відміну від розглянутого в п. 6 випадку змінюються на протилежні. У цьому випадку перехідна напруга на конденсаторі, струм і напруга на котушці визначаються по формулах:

;

;

.

Криві u_С(t), u_L(t) і i(t) наведені на рис. 17.

Рис. 5.17

Памятаємо, що