- •Перехідні процеси в лінійних електричних колах Вступ
- •Класичний метод розрахунку перехідних процесів
- •Зв'язок миттєвих значень напруг і струмів на елементах електричного кола
- •Вирази вільних складових загального розв’язку
- •Класичний метод розрахунку
- •3. Алгоритм розрахунку перехідного процесу класичним методом
- •4. Перехідні процеси в електричних колах з послідовно з'єднаними резисторами й котушками
- •4.1. Коротке замикання в колі з резистором і котушкою
- •5.4.2. Включення кола з резистором і котушкою на постійну напругу
- •4.3. Включення кола з резистором і котушкою на синусоїдальну напругу
- •5 Перехідні процеси в колі з послідовно включеними резисторами й конденсатором
- •5.1. Розряд конденсатора на резистор
- •5.2. Включення кола з резистором і конденсатором на постійну напругу
- •5 R .3. Включення кола з резистором і конденсатором на синусоїдальну напругу
- •6. Розряд конденсатора на ланцюг з резистором і котушкою
- •6.1. Складання характеристичного рівняння. Визначення власних частот кола
- •6.2. Аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор
- •6.3. Граничний аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор
- •6.4. Періодичний (коливальний) розряд конденсатора на контур з резистором і котушкою
- •7. Включення контуру з конденсатора, резистора, котушки на постійну напругу
- •7.1. Аперіодичний процес
- •7.2. Коливальний процес
- •Класичний метод розрахунку перехідних процесів
- •Зв'язок миттєвих значень напруг і струмів на елементах електричного кола
- •Вирази вільних складових загального розв’язку
- •Класичний метод розрахунку перехідних процесів у колах першого порядку
Вирази вільних складових загального розв’язку
Корені характеристичного рівняння |
Вирази вільної складової |
Корені дійсні й різні |
|
Корені дійсні і рівні
|
|
Корені комплексно-спряжені
|
|
Необхідно пам’ятати, що, оскільки в лінійному колі з часом вільна складова згасає, дійсна складова − коренів характеристичного рівняння, не може бути позитивною.
При дійсних коренях вільна складова перехідної функції монотонно згасає (при t→∞), і має місце аперіодичний перехідний процес. Наявність пари комплексно-спряжених корінь обумовлює появу загасаючих синусоїдальних коливань (коливальний перехідний процес).
Оскільки фізично коливальний процес пов'язаний з періодичним обміном енергією між магнітним полем котушки індуктивності й електричним полем конденсатора, комплексно-спряжені корені можуть мати місце тільки для кіл, що містять обидва типи накопичувачів.
Швидкість загасання коливань прийнято характеризувати відношенням
яке називається декрементом коливання, або натуральним логарифмом цього відношення
,
називаним логарифмічним декрементом коливання, де
Важливою характеристикою при дослідженні перехідних процесів є постійна часу τ, обумовлена для кіл першого порядку, як:
де р – корінь характеристичного рівняння.
Постійну часу можна інтерпретувати як часовий інтервал, протягом якого вільна складова зменшиться у порівнянні зі своїм початковим значенням в е разів. Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго. Однак на практиці вважається, що він закінчується при .
Постійні інтегрування A1, A2 знаходять із початкових умов, які визначають за допомогою законів комутації.
Розрізняють незалежні й залежні (після комутаційні) початкові умови:
– незалежні початкові умови – значення струмів через індуктивності й значення напруг на ємностях, відомі з до комутаційного режиму роботи кола, які по законам комутації не змінюються стрибком
– залежні початкові умови – значення інших струмів і напруг при t = 0 у після комутаційній схемі, обумовлені незалежними початковими значеннями, які знаходяться із законів Кирхгофа для схеми після комутації.
Класичний метод розрахунку перехідних процесів у колах першого порядку
Задача 1
Дано: На вхід кола з опором R= 1000 Ом подається напруга U=25 B. Визначити індуктивність та струм у колі, якщо відомо, що в деякий момент струм приймає значення .
|
Рис.2
|
Розв’язання:
Запишемо рівняння електричної рівноваги для заданого кола за другим законом Кірхгофа:
Розв’язок цього рівняння представимо у вигляді:
.
До комутації струму в котушці не було, отже,
.
Стала складова струму після комутації
.
Вільну складову струму, знаходимо з розв’язання однорідного диференціального рівняння першого порядку, записаного для кола за першим законом Кірхгофа:
Це рівняння описує процесс в скомутованому колі без джерел енергії (вільний процес). Оскільки джерела енергії відсутні, то вільний процесс – згасаючий.
Складемо характеристичне рівняння. Пам’ятаємо, що характеристичне рівняння складається для пошуку вільної складової перехідного струму. Для отримання характеристичне рівняння будь-якого диференційного рівняння, в даному випадку рівняння кола без джерел енергії (вільний режим), необхідно в ньому замінити на .
.
Оскільки, p – реальний, то розв’язок знаходимо у вигляді:
З початкових умов визначимо постійну інтегрування А і вільну складову струму:
або
; ;
Закон змінення струму через індуктивність має вигляд:
.
Визначимо сталу часу. Оскільки в момент часу струм приймає значення , підставимо значення у вираз для та визначимо сталу часу τ:
;
c.
Величину індуктивності знаходимо з характеристичного рівняння:
Гн.
Струму у колі змінюється за законом:
Задача 2
Дано: U=30 B R= 1 Ом R1=2 Ом L=2 Гн t1=2 c
Визначити:
|
Рис. 3 |
Розв’язання:
Для визначення закону зміни струму через індуктивність необхідно провести аналіз перехідного процесу в колі (рис. 3) для двох випадків:
ключ розімкнений ;
ключ замкнений .
Диференційне рівняння для даного електричного кола (після першої комутації) за ІІ законом Кірхгофа має вигляд
Розв’язок цього рівняння знаходимо у вигляді: .
Проведемо розрахунок усталеного режиму до комутації (t=0-).
Проведемо розрахунок усталеного режиму після комутації (t→∞).
Визначимо вільні складові перехідних функцій. Вільний процес являє собою умовний процес, який протікає при відсутності джерел енергії за рахунок накопиченої до комутації енергії на реактивних елементах. Рівняння енергетичного балансу в колі, яке описує вільний процес (рис. 4, а), являє собою однорідне диференційне рівняння:
.
Існують два способи одержання характеристичного рівняння та визначення його коренів.
Перший спосіб полягає у виконання заміни на p у однорідному диференційному рівнянні. У нашому випадку, для використання заміни, рівняння необхідно іще раз про диференціювати:
Отже, корені будемо шукати як
та .
Другий спосіб називається методом “вхідного опору”. Для цього в після комутаційній схемі вилучаємо всі джерела енергії (вільний режим) та заміняємо jω на р (отримали операторну схему заміщення). Розриваємо коло у точках а–б (рис. 4, б) та записуємо вираз для вхідного опору відносно точок розриву.
а) б)
Рис. 4
Порівнюючи вирази характеристичного рівняння та його корені, отримані двома способами, приходимо до висновку, що вони ідентичні.
Отже, вільна складова струму
.
Визначимо постійну інтегрування А. Для цього знайдемо значення струму у момент комутації (t=0), застосувавши у даному випадку І закон комутації:
.
Запишемо вираз перехідного струму для першого випадку: .
Для момент комутації (t=0):
Перехідний струм через індуктивність:
.
t1≤ t ≤ ∞
Після замикання ключа змінюється опір схеми. Диференційне рівняння для новоутвореного електричного кола (після другої комутації) за ІІ законом Кірхгофа має вигляд
Усталена складова перехідного струму до комутації (t=-0):
.
В момент другої комутації (t=t1) через індуктивність протікає струм
Проведемо розрахунок усталеного режиму після комутації (t→∞).
Однорідне диференційне рівняння, для визначення вільної складової струму, має вигляд:
.
Електричне коло, якому відповідає дане рівняння зображене на рис. 5, а.
На рис. 5, б зображена операторна схема заміщення для одержання характеристичного рівняння та визначення його коренів p.
а) б) Рис. 5 |
Отже, вільна складова струму
|
Перехідний струм після другої комутації:
.
Визначимо постійну інтегрування А Для момент комутації (t=0):
Перехідний струм через індуктивність у випадку замикання ключа:
.
Рис. 6
Задача 3
Дано: U=24 B R1=100 Ом R2=200 Ом C=50 мкФ
Визначити: –? |
Рис. 7 |
Розв’язання:
До комутації (t=0-) коло було розімкнене, отже струм не протікав і ємність – розряджена:
Згідно з другим законом комутації: , отже у початковий момент часу (t=0) опір закорочений, і в колі протікає струм
Пам’ятаємо, що перехідна функція складається з двох складових: вимушеної та вільної.
Вимушену складову знаходимо з розрахунку усталеного режиму після комутації.
Після комутації струм протікає до моменту повного заряду ємності, після чого ємність струму не пропускає і:
Складемо характеристичне рівняння скориставшись методом вхідного опору. Такому рівнянню відповідає вираз вхідного опору, для після комутаційної схеми без джерел енергії, прирівняний нулю:
|
Рис. 8. |
Запишемо загальні вирази для перехідних величин та визначимо постійні інтегрування згідно нульових умов:
Отже, кінцевими виразами перехідних функції є:
Перевірку правильності проведення розрахунків здійснюємо за законами Кірхгофа.
Визначимо час t1. Оскільки
.