4. Перехідні процеси в електричних колах з послідовно з'єднаними резисторами й котушками
У даному розділі передбачається не тільки практичне знайомство із класичним методом розрахунку перехідних процесів, але й з особливостями самих процесів у розглянутих задачах.
4.1. Коротке замикання в колі з резистором і котушкою
Рис. 2
Досліджуємо електромагнітні процеси в колі, зображеної на рис. 2, що відбуваються після замикання ключа.
Розрахуємо усталений режим у колі до комутації (до замикання ключа) і визначимо з нього незалежна початкова умова — струм у котушці в момент t = 0-
.
Знайдемо усталений струм i після комутації. Тому що в знову утвореному контурі з котушки L і резистора R немає джерела, то
.
Для визначення вільної складової струму запишемо по другому законі Кирхгофа рівняння електричного стану кола після комутації:
Характеристичне рівняння має вигляд:
.
Загальне рішення рівняння для вільної складової:
,
де: А – постійна інтегрування;
, c-1 – корінь характеристичного рівняння.
Корінь характеристичного рівняння p – коеффіцієнт затухання функції.
Записавши загальний вид перехідного струму котушки
i = iвим + iвіл = A ept,
прирівнюємо його значення i(0+) = A у момент t =(0+) до значення i(0-), знайденому в п. 1. Одержуємо шукану константу
i(0)= iвим(0) + iвіл(0)
E / (Rвн + R) = 0 + A
A = E / (Rвн + R) = I0.
Перехідний струм i = iвим + iвіл при цьому дорівнює
=
де τ = L / R – стала часу кола.
Стала часу – це час, протягом якого вільна складова процесу зменшується в е = 2,72 раз в порівнянні з початковим значенням.
Рис.
3
Графік зміни перехідного струму показаний на рис. 3.
Визначимо е.р.с. самоіндукції котушки t ≥ 0
=
–
=
–
=
–
=
–
У момент комутації ця е.р.с. дорівнює напрузі на опорі R, а надалі зменшується за експоненційним законом. На підставі викладеного можна зробити наступні висновки.
При короткому замиканні в розглянутому колі струм у ній змінюється за експоненційним законом, зменшуючись від початкового значення до нуля.
Швидкість зміни струму визначається постійною часу кола
,
що дорівнює індуктивності котушки,
діленої на активний опір кола.
Практично можна вважати, що перехідний процес закінчується при t ≈ (3...5)τ, коли первісне значення струму зменшується по модулю на порядок.
Напруга на котушці в початковий момент часу дорівнює напрузі на активному опорі:
.
З енергетичної точки зору розглянутий перехідний процес характеризується витратою енергії магнітного поля котушки на теплові втрати в резисторі. Слід зазначити, що опір резистора впливає не на кількість виділеної теплоти W, а на початкове значення струму через котушку й тривалість процесу. Оскільки після комутації кількість енергії W →0, струм до комутації –
,
після комутації його значення змінилось.
Справді
5.4.2. Включення кола з резистором і котушкою на постійну напругу
Рис. 4
Перехідний струм у колі, зображеного на рис. 4, представимо у вигляді
.
1. До комутації струму в котушці не було, отже,
.
2. Стала складова струму після комутації
.
3. Вільна складова струму для кола, описуваної диференціальним рівнянням першого порядку
,
.
4. По початкових умовах визначимо постійну інтегрування А і вільну складову струму:
;
або
;
;
Перехідний струм виходить у вигляді
.
Напруга на котушці
.
Криві зміни струмів i, iвим, iвіл і напруги на котушці u показані на рис. 5.
При включенні розглянутого контуру під постійну напругу струм у ньому наростає від нуля до сталого значення. Швидкість наростання струму
змінюється по експоненті з негативним показником. У момент t = 0 ця швидкість максимальна й дорівнює U / L [А/С], згодом вона падає практично до нуля, процес виходить на усталений режим.
В
перший після комутації момент
t = (0+
) струм у колі ще дорівнює нулю, і напруга
на котушці максимальна
,
далі вона експоненціально зменшується
до нуля.