5 R .3. Включення кола з резистором і конденсатором на синусоїдальну напругу

Рис. 11

Нехай напруга джерела змінюється за законом

Вимушена (стала) складова напруги на конденсаторі (див. рис. 5.11) дорівнює:

.

де: – повний опір кола;

– ємнісний опір;

– кут зсуву фаз між сталим струмом у колі й прикладеною синусоїдальною напругою.

Вільна складова напруги на конденсаторі

, .

Перехідна напруга на конденсаторі

Рис. 12

Вважаючи, що u(0_-) = 0, для постійної інтегрування одержимо

Остаточний вираз для напруги на конденсаторі можна записати у вигляді

Струм у колі

i=C [ ]

Залежності перехідної напруги на конденсаторі від часу при різних значеннях різниць показані на рис. 12. Їхній аналіз дозволяє зробити наступні висновки.

Якщо в момент включення миттєве значення сталої напруги на конденсаторі дорівнює нулю , то й вільна складова напруги дорівнює нулю. У колі відразу встановлюється режим (рис. 12 а).

Якщо в момент включення миттєве значення сталої напруги на конденсаторі має найбільше значення то перехідна напруга досягає максимального значення приблизно через половину періоду й може наблизитися до подвоєної амплітуди сталої напруги, але не перевищить його (рис. 12 в).

6. Розряд конденсатора на ланцюг з резистором і котушкою

Рис. 13

Нехай у колі, зображеному на рис. 13, конденсатор був заряджений до напруги . Проведемо аналіз процесів в контурі, утвореному резистором, конденсатором і котушкою після замикання ключа в момент t = 0. Оскільки джерела в колі відсутні, то сталі складові рішень дорівнюють нулю. Рішення буде складатися лише з однієї вільної складової.

6.1. Складання характеристичного рівняння. Визначення власних частот кола

За другим законом Кирхгофа t ≥ 0 маємо:

.

Враховуючи те, що , одержуємо диференціальне рівняння другого порядку для вільної складової напруги

.

Характеристичне рівняння при цьому має вигляд:

Характер електромагнітних процесів у контурі залежить від співвідношення параметрів R, L, С, що входять у вираз для коренів характеристичного рівняння

.

Залежно від знака підкореневого виразу корені можуть бути дійсними або комплексно- -спряжені. Вони визначають характер вільних складових перехідних струмів і напруг.

Введемо позначення:

– коефіцієнт загасання вільної складової;

тоді .

В залежності від співвідношення між величинами R, L та С отрима­ємо три варіанти коренів характеристичного рівняння:

а) при корені будуть дійсними та різними, а перехідний процес – аперіодичним;

б) при одержимо два дійсних, однакових кореня , що відповідає граничному аперіодичному режиму. Параметри кола, за яких відбувається цей режим, називаються критичними i між ними існує така залежність: ;

в) при корені p вийдуть комплексно-спряженими

,

а перехідний процес матиме коливальний характер, в якому  характеризує згасання амплітуди коливань, а – їх частоту.

6.2. Аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

Розглянемо процес розряду конденсатора на резистор R і котушку L. Якщо параметри контуру з резистора, котушки й конденсатора задовольняють умові

або ,

то корені характеристичного рівняння контуру дійсні, різні ( ), і від’ємні. У такому випадку напруга на конденсаторі описується рівнянням

,

де й – постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов.

Вільний струм дорівнює

.

Сталі складові напруги на конденсаторі й струми дорівнюють нулю. Тому їхні перехідні значення дорівнюють вільним складовим:

.

Визначимо з початкових умов постійні інтегрування й . При t = 0, , а . Підставивши ці значення у вираз для перехідних напруг і струмів при t = 0 маємо

; .

Звідси

; ;

З урахуванням початкових умов запишемо

.

Рис. 14

Добуток коренів по теоремі Вієта: , отже, струм

.

Напруга на котушці

.

Графіки залежності струму й напруги від часу, показані на рис. 14 дозволяють говорити про аперіодичний розряд конденсатора. Аперіодичним називається такий розряд, при якому конденсатор весь час розряджається, тобто функція – спадна, а струм i не змінює свого напрямку, у нашому випадку він від’ємний.

Зробимо деякі висновки:

1. Аперіодичний розряд конденсатора в колі R, L, С виникає при дійсних, від’ємних і різних коренях характеристичного рівняння.

2. При аперіодичному розряді напруга на конденсаторі зменшується від початкового значення до нуля, а струм спочатку зростає по модулю, потім зменшується, проходячи через максимальне значення.

3. Напруга на котушці зменшується від початкового значення, проходить через нульове значення, змінюючи знак й, досягши найбільшого значення, зменшується до нуля.