6. Паралельне сполучення резистивного і ємнісного елементів

Для кола на рис. 18 мають місце співвідношення:

           

, де  [См] – активна провідність;

, де  [См] – реактивна провідність конденсатора.

Векторна діаграма струмів для даного кола, називана трикутником струмів, наведена на рис. 19. Їй відповідає рівняння в комплексній формі

,

де ; 

 – комплексна провідність;   

   .

Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, наведений на рис. 20.

Для комплексного опору кола на рис. 18 можна записати

Необхідно відзначити, що отриманий результат аналогічний відомому з курсу фізики виразу для еквівалентного опору двох паралельно з'єднаних резисторів.

7. Паралельне сполучення резистивного й індуктивного елементів

Для кола на рис. 21 можна записати

, де  [См] – активна   провідність;

,

де  [См] – реактивна провідність котушки індуктивності.

Векторній діаграмі струмів (рис. 22) для даного кола відповідає рівняння в комплексній формі

,

де ; 

       – комплексна провідність;

      .

Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, наведений на рис. 23.

Вираз комплексного опору кола на рис. 21 має вигляд:

…

Пасивний двополюсник при синусоїдному струмі. Умови еквівалентності схем заміщення двополюсника.

Незалежно від кількості елементів двополюсника його можна замінити еквівалентними схемами рис. 2 та рис. 3, які матимуть 2 елементи, з’єднані або послідовно або паралельно.

Схеми рис. 3 і рис. 2 будуть еквівалентні схемі рис. 1, якщо при однакових комплексних напругах будуть однакові струми.

;

.

– для рис. 3

Для рис. 2: ;

(1);

(2).

Рівняння (2) вказує на те, що комплексна провідність і комплексний опір є величини взаємо оберненими:

(3);

(4).

Повні опори і провідності також величини взаємообернені:

; (5)

Що стосується активних і реактивних опорів і провідностей, то це не є величини взаємо обернені, а визначаються по наступним співвідношенням:

;

;

(6); (7).

Виконавши подібний аналіз для R, X отримаємо такі рішення:

(8); (9)

(6), (7), (8), (9) – називаються формулами еквівалентного переходу від опорів до провідностей чи від провідностей до опорів.

Лек №7

Основи символічного методурозрахунку. Метод контурних струмів

Візьмемо дві ділянки кола a-b  й c-d (див. рис.  1) і складемо для них рівняння в комплексній формі з врахуванням зазначених на рис. 1 позитивних напрямків напруг і струмів.

             

Поєднуючи обидва випадки, одержимо

(1)

або для постійного струму

.

(2)

 

Формули (1) і (2) є аналітичним виразом закону Ома для ділянки кола із джерелом ЕРС, відповідно до якого струм на ділянці кола із джерелом ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі напруги на затисках ділянки кола й ЕРС, діленої на опір ділянки. У випадку змінного струму всі зазначені величини – комплекси. При цьому ЕРС і напругу беруть зі знаком “+”, якщо їхній напрямок збігається з обраним напрямком струму, і зі знаком “–”, якщо їхній напрямок протилежно напрямку струму.

 

Основи символічного методу розрахунку кіл синусоїдального струму

 

Розрахунок кіл змінного синусоїдального струму може здійснюватись не тільки шляхом побудови векторних діаграм, але й аналітично – шляхом операцій з комплексами, що символічно зображують синусоїдальні ЕРС, напруги й струми. Достоїнством векторних діаграм є їхня наочність, недоліком – мала точність графічних побудов. Застосування символічного методу дозволяє робити розрахунки кіл з великим ступенем точності.

Символічний метод розрахунку кіл синусоїдального струму заснований на законах Кірхгофа й законі Ома в комплексній формі.

Рівняння, що виражають закони Кірхгофа в комплексній формі, мають такий же вид, як і відповідні рівняння для кіл постійного струму. Тільки струми, ЕРС, напруги й опори входять у рівняння у вигляді комплексних величин.

1.     Перший закон Кірхгофа в комплексній формі:

.

(3)

 2.     Другий закон Кірхгофа в комплексній формі:

(4)

 або стосовно до схем заміщення із джерелами ЕРС

.

(5)

 3.     Відповідно матричний запис законів Кірхгофа в комплексній формі має вигляд:

перший закон Кірхгофа:

;

(6)

 

другий закон Кірхгофа

.

(7)

 

Приклад:

Дано: Визначити: 1) повний комплексний опір кола ; 2) струми

Рішення:

 

1.     .

2.     .

3.    

                              

4.     Приймаючи початкову фазу напруги за нуль, запишемо:

Тоді

5.     Оскільки струм розподіляється назад пропорційно опору віток (це випливає із закону Ома), то

6.     .

7.     Аналогічний результат можна одержати, склавши для даної схеми рівняння за

законами Кірхгофа в комплексній формі

або після підстановки чисельних значень параметрів схеми

 

Спеціальні методи розрахунку

  Режим роботи будь-якого кола повністю характеризується рівняннями, складеними на підставі законів Кірхгофа. При цьому необхідно скласти й вирішити систему з n невідомими, що може виявитися досить трудомістким завданням при великому числі n віток схеми. Однак, число рівнянь, що підлягають рішенню, може бути скорочено, якщо скористатися спеціальними методами розрахунку, до яких ставляться методи контурних струмів і вузлових потенціалів.

 

Метод контурних струмів

Ідея методу контурних струмів: рівняння складаються тільки по другому законі Кірхгофа, але не для дійсних, а для уявлюваних струмів, що циркулюють по замкнутих контурах, тобто у випадку вибору головних контурів рівних струмам віток зв'язку. Число рівнянь дорівнює числу незалежних контурів, тобто числу віток зв'язку графа . Перший закон Кірхгофа виконується автоматично. Контури можна вибирати довільно, аби тільки їхнє число було дорівнює С і щоб кожен новий контур містив хоча б одну вітку, що не входить у попередні. Такі контури називаються незалежними. Їхній вибір полегшує використання топологічних понять дерева й віток зв'язку.

Напрямку дійсних і контурних струмів вибираються довільно. Вибір позитивних напрямків перед початком розрахунку може не визначати дійсні напрямки струмів у ланцюзі. Якщо в результаті розрахунку який-небудь зі струмів, як і при використанні рівнянь за законами Кірхгофа, вийде зі знаком “–”, це означає, що його дійсний напрямок – протилежний.

Нехай маємо схему зображену на рис. 3.

Виразимо  струми віток через контурні струми:

           

Обійшовши контур aeda, по другому законі Кірхгофа маємо

.

Оскільки ,

то

_.

Таким чином, одержали рівняння для першого контуру щодо контурних струмів. Аналогічно можна скласти рівняння для другого, третього й четвертого контурів:

разом з першим вирішити їх щодо контурних струмів і потім по рівняннях, що зв'язує контурні струми й струми віток, знайти останні.

Однак дана система рівнянь може бути складена формальним шляхом:

При складанні рівнянь необхідно пам'ятати наступне:

 – сума опорів, що входять в i-й контур;

 – сума опорів, загальних для i-го й k-го контурів, причому    ;

члени на головній діагоналі завжди пишуться зі знаком “+”;

знак “+” перед іншими членами ставиться у випадку, якщо через загальний опір  i-й й k- й контурні струми проходять в одному напрямку, у противному випадку ставиться знак “–”;

якщо i-й й k- й контури не мають загальних опорів, то ;

у правій частині рівнянь записується алгебраїчна сума ЕРС, що входять у контур: зі знаком “+”, якщо напрямок ЕРС збігається з обраним напрямком контурного струму, і “-”, якщо не збігається. 

У нашому випадку, для першого рівняння системи, маємо:

Варто звернути увагу на те, що, оскільки , коефіцієнти контурних рівнянь завжди симетричні щодо головної діагоналі.

Якщо в ланцюзі втримуються крім джерел ЕРС джерела струму, то вони враховуються в лівих частинах рівнянь як відомі контурні струми: k- й контурний струм, що проходить через вітку із k- м джерелом струму дорівнює цьому струму .

 

Метод вузлових потенціалів

Даний метод випливає з першого закону Кірхгофа. У якості невідомих приймаються потенціали вузлів, за знайденим значенням яких за допомогою закону Ома для ділянки кола із джерелом ЕРС потім знаходять струми в вітках. Оскільки потенціал – величина відносна, потенціал одного з вузлів (кожного) приймається рівним нулю. Таким чином, число невідомих потенціалів, а отже, і число рівнянь дорівнює ( ), тобто числу віток дерева .

Нехай маємо схему по рис. 4, у якій приймемо .

Допустимо, що й відомо. Тоді значення струмів на підставі закону Ома для ділянки кола із джерелом ЕРС

Запишемо рівняння по першому законі Кірхгофа для вузла а:

і підставимо значення вхідних у нього струмів, певних вище:

.

Згрупувавши відповідні члени, одержимо:

Аналогічно можна записати для вузла b:

Як і по методу контурних струмів, система рівнянь по методу вузлових потенціалів може бути складена формальним шляхом. При цьому необхідно керуватися наступними правилами:

1.      У лівій частині i-го рівняння записується зі знаком “+”потенціал i-го вузла, для якого складається дане i-і рівняння, помножений на суму провідностей  віток, приєднаних до даного i-го вузла, і зі знаком “–” потенціал  сусідніх вузлів, кожний з яких помножений на суму провідностей  віток, приєднаних до i-му й k-му вузлів.

Із сказаного випливає, що всі члени , що коштують на головній діагоналі в лівій частині системи рівнянь, записуються зі знаком “+”, а всі інші – зі знаком “-”, причому /. Остання рівність за аналогією з методом контурних струмів забезпечує симетрію коефіцієнтів рівнянь щодо головної діагоналі.

2.      У правій частині i-го рівняння записується так званий вузловий струм , дорівнює сумі добутків ЕРС віток, що підходять до  i-го вузла, і провідностей цих віток. При цьому член суми записується зі знаком “+”, якщо відповідна ЕРС спрямована до i-го вузла, у противному випадку ставиться знак “-”. Якщо в підходящим до i-го вузла вітках утримуються джерела струму, то знаки струмів джерел струмів, що входять у вузловий струм простими доданками, визначаються аналогічно.

На закінчення відзначимо, що вибір того або іншого з розглянутих методів визначається тим, що варто знайти, а також тим, який з них забезпечує менший порядок системи рівнянь. При розрахунку струмів при однаковому числі рівнянь переважніше використати метод контурних струмів, тому що він не вимагає додаткових обчислень із використанням закону Ома. Метод вузлових потенціалів дуже зручний при розрахунках багатофазних кіл, але не зручний при розрахунку кіл із взаємною індуктивністю.

 

Потужність у колах синусоїдного струму

Передача енергії W по електричному колу (наприклад, по лінії електропередачі), розсіювання енергії, тобто перехід електромагнітної енергії в теплову, а також й інші види перетворення енергії характеризуються інтенсивністю, з якої протікає процес, тобто тим, скільки енергії передається по лінії в одиницю часу, скільки енергії розсіюється в одиницю часу. Інтенсивність передачі або перетворення енергії називається потужністю р. Сказаному відповідає математичне визначення:

.

(1)

 Вираз для миттєвого значення потужності в електричних колах має вигляд:

.

(2)

 Прийнявши початкову фазу напруги за нуль, а зсув фаз між напругою й струмом за , одержимо (прийнявши до уваги, що ):

.

(3)

 

Отже, миттєва потужність має постійну складову й гармонійну складову, кутова частота якої в 2 рази більше кутової частоти напруги й токи.

Коли миттєва потужність негативна, а це має місце (див. рис. 1), коли u й i різних знаків, тобто коли напрямку напруги й струму у двополюснику протилежні, енергія повертається із двополюсника джерелу живлення.

Таке повернення енергії джерелу відбувається за рахунок того, що енергія періодично запасається в магнітних й електричних полях відповідно індуктивних й ємнісних елементів, що входять до складу двополюсника. Енергія, яку віддає джерело двополюснику протягом часу t дорівнює

.

Середнє за період значення миттєвої потужності називається активною потужністю

.

Беручи до уваги, що , з (3) одержимо:

.

(4)

 

Активна потужність, споживана пасивним двополюсником, не може бути від’ємною (інакше двополюсник буде генерувати енергію), тому , тобто на вході пасивного двополюсника . Випадок Р=0, теоретично можливий для двополюсника, що не має активних опорів, а утримуючий тільки ідеальний індуктивний й ємнісний елементи.

Повна потужність

Крім понять активної й реактивної потужностей в електротехніці широко використається поняття повної потужності:

.

(6)

 

Активна, реактивна й повна потужності зв'язані наступним співвідношенням:

.

(7)

 

Відношення активної потужності до повного називають коефіцієнтом потужності. З наведених вище співвідношень видно, що коефіцієнт потужності  дорівнює косинусу кута зсуву між струмом і напругою. Отже,

.

(8)

 

Комплексна потужність

Активну, реактивну й повну потужності можна визначити, користуючись комплексними зображеннями напруги й струму. Нехай , а . Тоді комплекс повної потужності:

,

(9)

 

де  – комплекс, сполучений з комплексом .

Комплексної потужності можна поставити у відповідність трикутник потужностей (див. мал. 4). Рис. 4 відповідає (активно–індуктивне навантаження), для якого маємо:

.

Застосування статичних конденсаторів для підвищення

Як уже вказувалося, реактивна потужність циркулює між джерелом і споживачем. Реактивний струм, не роблячи корисної роботи, приводить до додаткових втрат у силовому встаткуванні й, отже, до завищення його встановленої потужності. У цьому зв'язку зрозуміле прагнення до збільшення у силових електричних колах.

Варто вказати, що переважна більшість споживачів (електродвигуни, електричні печі, інші різні пристрої й прилади) як навантаження носить активно-індуктивний характер.

Якщо паралельно такому навантаженню  (див. рис. 5), включити конденсатор З, то загальний струм , як видно з векторної діаграми (рис. 6), наближається по фазі до напруги, тобто  збільшується, а загальна величина струму (а отже, втрати) зменшується при сталості активної потужності . На цьому засноване застосування конденсаторів для підвищення .

Яку ємність Із  потрібно взяти, щоб підвищити коефіцієнт потужності від значення  до значення ?

Розкладемо  на активну  і реактивну  складові. Струм через конденсатор  компенсує частина реактивного складового струму навантаження :

 

З (11) і (12) з обліком (10) маємо

,

але , звідки необхідна для підвищення  ємність:

.

(13)

 

Баланс потужностей

Баланс потужностей є наслідком закону збереження енергії й може служити критерієм правильності розрахунку електричного кола.

а) Постійний струм

Для будь-якого кола постійного струму виконується співвідношення:

(14)

Це рівняння являє собою математичну форму запису балансу потужностей: сумарна потужність, генерована джерелами електричної енергії, дорівнює сумарної потужності, споживаної в ланцюзі.

Варто вказати, що в лівій частині (14) доданки мають знак “+”, оскільки активна потужність розсіюється на резисторах. У правій частині (14) сума складає більше нуля, але окремі члени тут можуть мати знак “-”, що говорить про те, що відповідні джерела працюють у режимі споживачів енергії (наприклад, заряд акумулятора).

б) Змінний струм.

Із закону збереження енергії треба, що сума всіх активних потужностей, що віддають, дорівнює сумі всіх споживаних активних потужностей, тобто

(15)

 

У ТОЕ доводиться (внаслідок достатньої громіздкості висновку цей доказ опустимо), що баланс дотримується й для реактивних потужностей:

,

(16)

 

де знак “+” ставиться до індуктивних елементів , “-” – до ємнісного .

Помноживши (16) на “j” і склавши отриманий результат з (15), прийдемо до аналітичного вираження балансу потужностей у колах синусоїдального струму (без обліку взаємної індуктивності):

або

.

Векторні та топографічні діаграми. Перетворення лінійних електричних кіл

Сукупність радіусів-векторів, що зображують синусоїдально змінні ЕРС, напруги, струми й т.д., називається векторною діаграмою. Векторні діаграми наочно ілюструють хід рішення задачі. При точній побудові векторів можна безпосередньо з діаграми визначити амплітуди й фази шуканих величин.

Наближена (якісна) побудова діаграм при аналітичному рішенні служить надійним контролем коректності ходу рішення й дозволяє легко визначити квадрант, у якому перебувають обумовлені вектори.

При побудові векторних діаграм для кіл з послідовним сполученням елементів за базовий (відправний) вектор варто приймати вектор струму (див. лекцію № 8), а до нього під відповідними кутами підбудовувати вектори напруг на окремих елементах. Для кіл з паралельною сполукою елементів за базовий (відправний) вектор варто прийняти вектор напруги, орієнтуючи щодо нього вектори струмів у паралельних вітках.

Для наочного визначення величини й фази напруги між різними точками електричного кола зручно використати топографічні діаграми. Вони являють собою з'єднані точки на комплексній площині (відповідно схемі електричного кола), що відображають їхні потенціали. На топографічній діаграмі, що представляє собою в принципі векторну діаграму, порядок розташування векторів напруг чітко відповідає порядку розташування елементів у схемі, а вектор спадання напруги на кожному наступному елементі примикає до кінця вектора напруги на кожному попередньому елементі.

Як приклад побудуємо векторну діаграму струмів, а також топографічну діаграму потенціалів для схеми (див. рис. 1).

Параметри схеми:

При даних параметрах і заданій напрузі на вході схеми знайдені значення струмів (див. лекцію № 5) рівні:

При побудові векторної діаграми задамося масштабами струмів і напруг (див. рис. 2). Векторну діаграму можна будувати, маючи запис комплексу в показовій формі, тобто за значеннями модуля й фази. Однак на практиці зручніше проводити побудови, використовуючи алгебраїчну форму запису, оскільки при цьому дійсна й уявна складові комплексної величини безпосередньо відкладаються на відповідних осях комплексної площини, визначаючи положення точки на ній.

Побудова векторної діаграми струмів здійснюється безпосередньо на підставі відомих значень їхніх комплексів. Для побудови топографічної діаграми попередньо здійснимо розрахунок комплексних потенціалів (інший варіант побудови топографічної діаграми припускає розрахунок комплексів напруг на елементах кола з наступним підсумовуванням векторів напруг уздовж контуру безпосередньо на комплексній площині).

При побудові топографічної діаграми обхід контурів можна робити по напрямку струму або проти. Частіше використають другий варіант.

У цьому випадку з урахуванням того, що в електротехніці прийнято, що струм тече від більшого потенціалу до меншого, потенціал шуканої точки дорівнює потенціалу попередньої плюс спадання напруги на елементі між цими точками. Якщо на шляху обходу зустрічається джерело ЕРС, то потенціал шуканої точки буде дорівнює потенціалу попередній плюс величина цієї ЕРС, якщо напрямок обходу збігається з напрямком ЕРС, і мінус величина ЕРС, якщо не збігається. Це випливає з того, що напруга на джерелі ЕРС має напрямок, протилежне ЕРС.

Позначивши на схемі по рис. 1 крапки між елементами кола e й a і прийнявши потенціал крапки а за нуль( /), визначимо потенціали цих крапок:

або

Таким чином, у результаті проведених обчислень отримано, що Але різниця потенціалів точок е и а дорівнює напрузі U, прикладеному до кола, а вона дорівнює 120 В. Таким чином, другий закон Кірхгофа виконується, а отже, обчислення виконані вірно. Відповідно до отриманих результатів будується топографічна діаграма зображена на рис. 2. Варто звернути увагу на орієнтацію векторів, що становлять топографічну діаграму, щодо векторів струму: для резистивних елементів відповідні вектори паралельні, для індуктивного і ємнісних – ортогональні.

На закінчення помітимо, що вектори напруг орієнтовані щодо точок топографічної діаграми протилежно позитивним напрямкам напруг щодо відповідних точок електричного кола. У цьому зв'язку допускається не вказувати на топографічній діаграмі напрямку векторів напруг.

37