Подання синусоїдальних ерс, напруг і струмів комплексними числами

Геометричні операції з векторами можна замінити алгебраїчними операціями з комплексними числами, що істотно підвищує точність одержуваних результатів.

Коли початок вектора сумістити з початком координат комплексної площини(рис.7а), то цей вектор можна записати комплексним числом , де модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора, а аргумент вектора – куту вектора з віссю дійсних значень.

Проекцією вектора на вісь дійсних чисел наз. дійсною частиною комплексного числа і позначають , проекцію на вісь умовних чисел – умовною частиною і позначають

Кожному вектору на комплексній площині відповідає певне комплексне число, що може бути записане в :

показниковій

тригонометричній      

алгебраїчній     – формах.

Наприклад, ЕРС _, зображеної на рис. 7 обертовим вектором, відповідає комплексне число

_.

Фазовий кут  визначається по проекціях вектора на осі “+1” й “+j” системи координат, як

 .

Відповідно до тригонометричної форми запису уявна складова комплексного числа визначає миттєве значення синусоїдної змінної ЕРС:

(4)

 

Комплексне число  зручно представити у вигляді добутку двох комплексних чисел:

(5)

Параметр , що відповідає положенню вектора для t=0 (або на обертовій зі швидкістю комплексної площини), називають комплексною амплітудою: , а параметр   комплексом миттєвого значення.

Параметр є оператором повороту вектора на кут щодо початкового положення вектора, при розрахунках часто не враховується.

Загалом кажучи, множення вектора на оператор повороту  є його поворот щодо первісного положення на кут ±a.

Отже, миттєве значення синусоїдальної величини дорівнює уявній частині без знака “j” добутку комплексу амплітуди  й оператора повороту :

Перехід від однієї форми запису синусоїдальної величини до іншої здійснюється за допомогою формули Эйлера:

,

(6)

Якщо, наприклад, комплексна амплітуда напруги задана у вигляді комплексного числа в алгебраїчній формі:

_,

– то для запису її в показовій формі, необхідно знайти початкову фазу , тобто кут, що утворить вектор  з позитивною піввіссю +1:

Тоді миттєве значення напруги:

де

При записі виразу для визначеності було прийнято, що , тобто що вектор зображення, перебуває в першому або четвертому квадрантах. Якщо , то при  (другий квадрант)

,

(7)

а при  (третій квадрант)

(8)

або

(9)

Якщо задано миттєве значення струму у вигляді , то комплексну амплітуду записують спочатку в показовій формі, а потім (при необхідності) по формулі Эйлера переходять до алгебраїчної форми:

_.

Варто вказати, що при додаванні й вирахуванні комплексів варто користуватися алгебраїчною формою їхнього запису, а при множенні й розподілі зручна показова форма.

Отже, застосування комплексних чисел дозволяє перейти від геометричних операцій над векторами до алгебраїчного над комплексами. Так при визначенні комплексної амплітуди результуючого струму i₃ по рис. 5 одержимо:

де ;

.

 

Лек №6

Елементи кола синусоїдного струму, векторні діаграми

та комплексні співвідношення для них