Діюче значення змінного струму

Під час аналізу кіл змінного струму користуються діючими значеннями. Амперметри та вольтметри, які призначені для роботи в колах змінного струму, також розраховані на діючі значення струму та напруги.

Значення періодичного струму, рівне такому значенню постійного струму, який за час одного періоду змінного струму виділяє в опорі таку ж кількість тепла, що і змінний струм (або зробить той же самий тепловий або електродинамічний ефект, що й періодичний струм), називають діючим значенням періодичного струму.

Таким чином, кількість тепла, яку виділяє в опорі незмінний струм за час :

.

Кількість тепла, яку виділяє в опорі змінний струм за час :

,

де .

Якщо , тоді

Аналогічно визначаються діючі значення ЕРС та напруги.

Для того, щоб визначити співвідношення між діючим та амплітудним значенням струму (ЕРС, напруг), прирівняємо вирази для кількості тепла для постійного та змінного струмів:

Таким чином, діюче значення струму (напруги, ЕРС) менше амплітудного на :

Оскільки, як буде показано далі, енергетичний розрахунок кіл змінного струму зазвичай проводиться з використанням діючих значень величин, за аналогією з попереднім уведемо поняття комплексу діючого значення:

Способи зображення синусоидально змінних величин

1. аналітичний – запис у вигляді тригонометричної функції. Використання аналітичного методу дозволяє виконувати розрахунки зі встановленою точністю. Цей метод був запропонований американським вченим Штеймедсом і базується на використанні комплексних чисел для зображення синусоїдних функцій.

2. графічний – графіки також називаються часовими діаграмами (див. рис.1 та 2);

3. векторний – у вигляді векторної діаграми.

Основним недоліком використання графічного та векторного методів ­­– низька точність розрахунків.

Навести приклад математичних операцій трьома методами для трьох синусоїдних функцій.

Векторне зображення синусоидально змінних величин

На Декартові площині з початку координат проводять вектори, рівні по модулю амплітудним значенням синусоїдних величин, і обертають ці вектори проти годинникової стрілки (у ТОЕ даний напрямок прийнято за позитивний) з кутовою частотою, рівної ω. Фазовий кут при обертанні відраховує від позитивної півосі абсцис. Проекції обертових векторів на вісь ординат дорівнюють миттєвим значенням ЕРС е₁ й е₂ (рис. 3а).

Сукупність векторів, що зображують синусоїдно змінні ЕРС, напруги й струми, називають векторними діаграмами.

При побудові векторних діаграм вектори зручно розташовувати для початкового моменту часу (t=0), що випливає з рівності кутових частот синусоїдальних величин й еквівалентно тому, що Декартова система координат сама обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю ω. Таким чином, у цій системі координат вектори нерухомі (рис.3б). Векторні діаграми знайшли широке застосування при аналізі електричних кіл синусоїдального струму. Їхнє застосування робить розрахунок електричного кола більше наочним і простим. Це спрощення полягає в тому, що додавання й віднімання миттєвих значень величин можна замінити додаванням і відніманням відповідних векторів.

При аналізі кіл частіше застосовують векторні діаграми діючих значень, на яких довжина вектора дорівнює у масштабі не амплітудному, а діючому значенню напруги, струму, ЕРС. У такому випадку обертання векторів втрачає свою суть, бо за їх допомогою вже не можна знаходити миттєві значення.

Нехай, наприклад, у вузлі розгалуженого кола (рис. 5) загальний струм i₃ дорівнює сумі струмів i₁ й i₂ двох віток:

Кожний із цих струмів синусоїдний і може бути представлений рівнянням

и .

Результуючий струм також буде синусоїдний:

.

Визначення амплітуди  і початкової фази  цього струму шляхом відповідних тригонометричних перетворень виходить досить громіздким і мало наочним, особливо, якщо сумується велика кількість синусоїдних величин. Значно простіше це здійснюється за допомогою векторної діаграми.

На рис. 6 зображені початкові положення векторів струмів, проекції яких на вісь ординат дають миттєві значення струмів для t=0. При обертанні цих векторів з однаковою кутовою швидкістю ω їхнє взаємне розташування не змінюється, і кут зсуву фаз між ними залишається рівним .

Оскільки алгебраїчна сума проекцій векторів на вісь ординат дорівнює миттєвому значенню загального струму, вектор загального струму дорівнює геометричній сумі векторів струмів:

_.

Побудова векторної діаграми в масштабі дозволяє визначити значення  й  з діаграми, після чого може бути записане рішення для миттєвого значення шляхом формального врахування кутової частоти:

.

Векторні діаграми поділяють на прості та топографічні, які зазвичай використовуються для напруг (рис.5б)

На топографічній діаграмі кожний наступний вектор відкладають із кінця попереднього у такій послідовності, як з’єднані елементи кола. На діаграмі рис.5б вектори між довільними точками зображають напруги між відповідними точками кола.