Нахождение исходного опорного плана

Симплекс - преобразования можно проводить, если задача записана в канонической форме и есть опорное решение.

если задача составлена на минимум, то  (-1) для того, чтобы она была на максимум;

если ограничения , то в левую часть добавляем дополнительные переменные;

если ограничения , то из левой части вычитаем дополнительные переменные;

если свободные члены отрицательны, то необходимо поменять знаки в левой и правой части.

Исходное опорное решение задано, если среди коэффициентов системы ограничений можно выделить единичный минор порядка m, где m – число уравнений. Если все ограничения , то коэффициенты дополнительных переменных и будут образовывать единичный минор. Если все ограничения =, то единичного минора нет:

z = c₁  x₁ + c₂  x₂ + … + c_n  x_n

a₁₁  x₁ + a₁₂  x₂ + … + a_1n  x_n = b₁,

a₂₁  x₁ + a₂₂  x₂ + … + a_2n  x_n = b₂,

……………………………….

a_m1  x₁ + a_m2  x₂ + …+ a_mn  x_n = b_m.

где х₁,…, х_n  0.

Формируют дополнительную задачу (М-задача). В ней среди коэффициентов будет единичный минор. В любом уравнении искусственно добавлена неотрицательная переменная:

a₁₁  x₁ + a₁₂  x₂ + … + a_1n  x_n + w₁ = b₁,

a₂₁  x₁ + a₂₂  x₂ + … + a_2n  x_n + w₂ = b₂,

……………………………….

a_m1  x₁ + a_m2  x₂ + …+ a_mn  x_n + w_m = b_m.

где х₁, …, х_n  0, w₁, …, w_m  0.

В целевую функцию добавляем эти же переменные с большим отрицательным коэффициентом:

F = c₁  x₁ + c₂  x₂ + … + c_n  x_n – M  w₁  …  M  w_m  max

Исходное решение: w₁ = b₁,…, w_m = b_m, х₁, …, х_n = 0, z  - бесконечности.

Эта М-задача и исходная задача связаны между собой:

- если М-задача имеет оптимальное решение в котором все исходные переменные w_i = 0, то оно является решением и для исходной задачи;

- если М-задача имеет оптимальное решение в котором не все w_i = 0, то исходная задача не имеет решения;

- если М-задача не имеет оптимального решения, то и исходная задача не имеет решения.

Расчет оптимальной производственной мощности

1. Понятие производственной мощности.

2. Модели расчета оптимальной производственной мощности.

1. Понятие производственной мощности ПМ.

Производственная мощность - способность закрепленных за предприятием средств труда (машины, оборудование, площади) к максимальному выпуску продукции за год в соответствии с установленной специализацией производства и режимом работы.

Важно знать производственную мощность в натуральных единицах, т.к. она важна для: текущего планирования (если мы знаем максимально возможные условия, то можем увереннее планировать); планирования капитального строительства (определить направления и объем капитального строительства); переформирования планов технического перевооружения (какое оборудование, сколько...); выявления внутрипроизводственных резервов.

Производственная мощность (ПМ) зависит от:

изменения технологии;

изменения имеющегося оборудования;

изменения структуры оборудования; изменения производительности;

изменения специализации.

Показатель ПМ подвижен и его необходимо пересчитывать. Для практического расчета ПМ необходимо решить следующие вопросы:

1. В каких единицах будем считать (важно для текущего планирования динамики ПМ; выпуск продукции в натуральных единицах).

2. Как учитывать средства труда (учитывается все закрепленное за предприятием оборудование, даже не установленное. Оборудование группируется по цехам, участкам, группам. В группу могут входить станки, которые считаются взаимозаменяемыми).

3. Как рассчитать фонд времени работы оборудования. Действительный фонд времени – это все время, которое может работать данное оборудование, исключая праздники, выходные, время на капитальный ремонт:

(F_ном. – F_{план. рем.} = F_{действ.} )  количество станков в группе = F _{действ. по группе}.

4. Какую номенклатуру учитывать при расчете, в каком состоянии учитывать виды продукции.

ПРИМЕР:

В соответствии со специализацией предприятие выпускает 3 вида продукции: А, В, С. Для расчета ПМ все оборудование поделено на группы: 1, 2, 3. Плановое задание: 100, 200, 300 - его берут в расчете за основу.

Пусть F_i – действительный фонд времени i-той группы, Т_i - трудоемкость i-той группы в плановом задании, N_i - пропускная способность (во сколько раз больше мы можем прогнать задание): N_i = F_{действ i} / T_i .

N₁ =1,3; N₂ = 1,5; N₃=1,7.

Выбирают ведущую группу оборудования, на которую приходится наибольшая продолжительность операции и число операций максимально. Пропускная способность этой группы будет являться ПМ предприятия. Допустим, ведущая – 2 группа и пропускная способность N₂ берем за основу для производственной мощности, получаем, что ПМ в полтора раза больше, чем предусмотрено планом: А – 150; В – 300; С – 400.

Недостаток подхода: за основу взяты плановые задания, что не соответствует самому определению. Необходимо рассчитывать ПМ, исходя из оптимального ассортимента, а именно решить - что и сколько следует производить. Оптимальный ассортимент и есть ПМ. В качестве ассортимента - оборудование, машины, площади. Структура выпускаемой продукции соответствует структуре имеющегося оборудования.

2. Модели расчета оптимальной производственной мощности.

Постановка задачи: Пусть предприятие может выпустить n видов продукции в соответствии со своей специализацией. Для производства нужны средства труда по группам 1, 2,…, m (группы оборудования). Внутри каждой группы станки взаимозаменяемы.

А_i – действительный фонд времени i-той группы оборудования;

а_ij – нормы расхода t i-ой группы оборудования на j-тое изделие (а_ij);

Р_j – прибыль от реализации единицы j изделия.

Найти оптимальный ассортимент с целью получения максимальной прибыли

Пусть x₁, x₂,..., x_n - кол-во продукции i-го вида.

Модель 1: z =  max (1)

, i = (2)

x_j  0, j = (3)

В целевой функции есть показатель прибыли, а прибыль зависит от многих факторов (материалы, з/п...), следовательно целевая функция зависит от многих факторов. Недостаток: учитываются все факторы. Поэтому рассмотрим следующую модель.

Модель 2: z =  max – оптимальный ассортимент максимальной загрузки имеющегося оборудования.

Затраты станочного времени на все изделия по всем группам оборудования:

, i = (2);

x_j  0, j = (3)

Наиболее приемлема, т.к. не учитываются иные факторы, кроме станков. Через максимальную загрузку косвенно получим максимальный выпуск. Можем получить нулевые значения, это может не соответствовать спросу, тогда модель можно видоизменить.

Модель3: z =  max – учитываем спрос.

Ограничения (2) и (3).

x_j  B_j (производительность не менее В заданного количества), для некоторых , для других : x_j  B_j.

Модель 4: Можно при расчете ПМ задаваться структурой выпускаемой продукции в виде коэффициентов (k₁, k₂, k₃, …, k_j,…, k_n) – комплект. k_j – удельный вес j-той продукции в общем объеме. Можно рассматривать (k₁, k₂, k₃, …, k_j,…, k_n) как комплект, где k_j – количество изделий j в одном комплекте. Определить оптимальный ассортимент с целью получения максимального количества продукции, заданной структуры.

z - количество комплектов.

F = z  max.

Ограничение (2)

х_j  k_j  z – ограничение на структуру продукции.