Оптимизационные модели на макроуровне

1. Модели opt планирования народного хозяйства;

2. Анализ содержания и структуры статической модели opt планирования;

3. Взаимосвязь прямой и двойственной задач opt планирования;

4. Оценки технологических способов производства;

5. Оценки ресурсов и оценки продукции в opt планировании и их использование;

6. Оpt модели межотраслевого баланса.

1. Модели opt планирования народного хозяйства

Оптимальная модель отличается от балансовой тем, что:

1) предусматривает производство продукции различными способами (например. Получение электроэнергии);

2) рассматривает комплексные производства, когда при испытании какого-либо технологического способа получается несколько видов продукции.

Для производства нужны ресурсы, которые мы поделим на виды:

1, 2, … i … m – ресурсы;

1, 2, … j … n – технологические способы;

1, 2, … p… r – виды продукции.

Если технологический способ существует, то он определен своими затратами и результатами производства. Каждому технологическому способу ставится в соответствии вектор:

где a_ij – коэффициенты затрат; b_pj – коэффициенты выпуска продукции; p = , i = , j = .

Продукцию необходимо выпускать в заданном ассортименте в соотношении: (k₁, k₂, … k_p … k_r) – коэффициенты, характеризующие удельный вес продукции р в общем объеме выпускаемой продукции, или это количество продукции р в 1 наборе (комплекте).

Необходимо, чтобы расчет был в натуральном выражении.

B_i – объем i-того ресурса – ограничение.

Задача: выбрать среди всех существующих технологических способов с целью max выпуска продукции заданной структуры при ограниченных ресурсах.

Статическая модель opt планирования (за 1 год):

Ресурсы, продукция	Технологические способы				Ограничения
	1	2	…	n
1	a11	a12	…	a1n	B1
2	a21	a22	…	a2n	B2
…	…	…	…	…	…
m	am1	am2	…	amn	Bm
1	b11	b12	…	b1n	k1
2	b21	b22	…	b2n	k2
…	…	…	…	…	…
r	br1	br2	…	brn	kr
	x1	x2	…	xn

2. Анализ содержания и структуры статической модели opt планирования

Затраты ресурсов и выпуск продукции даны с единичной интенсивностью.

За единицу интенсивности можно принять выпуск единицы основной продукции; можно единицу времени работы (например, 1 ч); можно затраты принять за единицу.

Интенсивность показывает во сколько раз больше будем получать ресурсы и тратить на другие виды продукции по сравнению с тем, который приняли за 1.

Модель 1. Определить, с какой интенсивностью использовать  технологический способ.

Переменные: х₁, х₂, … х_n – интенсивность каждого способа.

Если интенсивность = 0, то способ не принимаем.

z – количество наборов.

F = z  max.

a₁₁  x₁ + a₁₂  x₂ + … + a_1n  x_n  B₁,

…………………………………… (1)

a_m1  x₁ + a_m2  x₂ + … + a_mn  x_n  B_m,

b₁₁  x₁ + b₁₂  x₂ + … + b_1n  x_n  k₁  z,

……………………………………. (2)

b_r1  x₁ + b_r2  x₂ + … + b_rn  x_n  k_r  z,

x_j  0, z  0.

1-е и 3-е уравнение системы (2) – структура.

В качестве ресурсов берутся природные и трудовые ресурсы (первичные факторы производства).

Продукция – все, что производится = конечная продукция + промежуточная (сырая нефть).

Строка b₁₁ b₁₂ … b_1n - характеризует выпуск 1-го вида продукции при различных способах.

Столбец b₁₁ b₂₁ … b_r1 – характеризует перечень продукции, полученный 1-ым способом.

Если продукция р является результатом производства, то b_pj > 0.

Если продукция р при другом технологическом способе является сырьем для производства другого вида продукции, то b_pj < 0.

Достоинства модели: все данные в натуральных единицах и есть возможность выбора тех. способов.

Разновидности модели 1:

Модель 2: Задана не структура, а спрос на продукцию у₁, у₂ … у_n

F =  max

Ограничение (1),

Модель 3: конечную продукцию можно разделить у_р = .

- постоянная часть – min для того, чтобы страна просуществовала, жестко задана цифрой.

- переменная часть – задана структурой (k₁, k₂, … k_r)

F = z  max.

Ограничение (1)

,

,

x_j  0, z  0.

3. Взаимосвязь прямой и двойственной задач opt планирования;

Прямая задача:

F = z  max.

Ограничения на ресурсы:

a₁₁  x₁ + a₁₂  x₂ + … + a_1n  x_n  B₁, | у₁

……………………………………… | …

a_m1  x₁ + a_m2  x₂ + … + a_mn  x_n  B_m. | у_m

Ограничения на количество:

- b₁₁  x₁ - b₁₂  x₂ - … - b_1n  x_n + k₁  z  0, | y_m+1

…………………………………………… | …

- b_r1  x₁ - b_r2  x₂ - … - b_rn  x_n + k_r  z  0. | y_m+r

x_j  0, z  0, j =

Двойственная задача:

Ф = В₁  у₁ + В₂  у₂ + … В_m  y_m  min

a₁₁  y₁ + … + a_m1  y_m – b₁₁  y_m+1 - … b_r1  y_m+r  0,

…………………………………………..

a_1n  y₁ + … + a_mn  y_m – b_1n  y_m+1 - … b_rn  y_m+r  0,

k₁  y_m + … k_r1  y_m+r  1

y_i  0, i = .

y₁ … y_m – отдача от использования дополнительной единицы соответствующего ресурса; оценивают единицу каждого ресурса.

y_m+1 … y_m+r – оценивают единицу продукции с точки зрения эффективности ее производства. То есть сама величина означает насколько уменьшится z, если количество соответствующей продукции увеличить на единицу по отношению к оптимальному плану.

Эти оценки позволяют анализировать оптимальный план:

1. если x_j > 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое равенство.

2. если x_j = 0, то соответственные ограничения двойственной задачи выполняются как строгое неравенство >.

3. если у_i > 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое равенство, т.е. для тех ресурсов, которые полностью потрачены, оценки больше нуля.

4. если у_i = 0, то соответственные ограничения прямой задачи выполняются как строгое неравенство.

Для избыточных ресурсов оценка = 0.

Для продукции, произведенной сверхкомплекта = 0.

4. Оценки технологических способов производства

Оценить все способы (и те, которые не вошли в оптимальный план).

Для оценки технологических способов можно использовать первые n неравенств двойственной задачи, коме последнего.

j =

Оптимальный технологический способ: _j = 0.

Неоптимальный технологический способ: _j > 0 показывает насколько уменьшится z, если соответствующий технологический способ эксплуатировать с единичной интенсивностью. Чем меньше В_j, тем лучше способ.

ПРИМЕР:

Рассмотрим производство 2-х видов продукции А и В при двух видах ограниченных ресурсах: труд, оборудование. Каждый вид продукции может производится двумя технологическими способами. Количество ресурсов ограничено, а продукция должна производится в комплекте (1 : 1), т.е. на каждую продукцию А единица продукции В.

Ресурсы, продукция	Технологические способы				ограничения
	1	2	3	4
Труд	0,8	0,2	0,4	0,1	240
Оборудование	-	0,1	-	0,2	20
А	1	1	-	-	1
В	-	-	1	1	1

1-я колонка характеризует 1 технологический способ с единичной интенсивностью.

2-я позволяет получить 1, при этом тратится труда 0,2 и оборудования 0,1.

Определить интенсивность использования каждого способа с целью получения max продукции.

х₁ - интенсивность использования 1 способа

- количество продукции А, получаемой 1 способом

х₂ - …. 2 способом

- ….. 2 способом

х₃

х₄

z – количество комплектов.

F = z  max.

0,8  х₁ + 0,2  х₂ + 0,4  х₃ + 0,1  х₄  240, | у₁

0,1  х₂ + 0,2  х₄  20 | у₂

х₁ + х₂  1 z, | у₃

х₃ + х₄  1 z. | у₄

z, x₁ … x₄  0.

Двойственная задача: Ф = 240  у₁ + 20  у₂  min

0,8  у₁ – у₃  0 | х₁ | ₁

0,2  у₁ + 0,1  у₂ – у₃  0 | х₂ | ₂

0,4  у₁ – у₄  0 | х₃ | ₃

0,1  у₁ + 0,2  у₂ – у₄  0 | х₄ | ₄

у₃ + у₄  1 | z |

Т.к. z > 0, то ограничения как строгое равенство.

z = 300; х₁ = 100, х₂ = 200 (А = 300), х₃ = 300, х₄ = 0 (В =300).

Нам выгодно использовать 1-ый способ с интенсивностью 100, 2-ой способ – 200, 3-ий – 300, 4-ый способ не выгоден.

Двойственная задача.

Ф = z =300

у₁ = 5/6 – оценивает каждый дополнительный чел-час

у₂ =5 – оценивает каждый дополнительный машино-час

у₃ = 4/6 – оценивают единицу продукции А

у₄ = 2/6 – оценивают единицу продукции В

Выгодно у₂ = 5, т.к. это дает увеличение комплектов на 5 единиц, если использовать 1 дополнительный машино-час.

Если продукцию А выпускать на единицу больше, то общее число комплектов уменьшится на 4/6. Если В, то на 2/6.

Каждое неравенство характеризует технологический способ.

Подставим у в неравенства двойственной задачи.

₁ = 0,8  5/6 – 4/6 = 0

₂ = 0,2  5/6 – 0,1  5 – 4/6 = 0

₃ = 0,4  5/6 – 2/6 =0

₄ = 0,1  5/6 – 2/6 = 3/4

Если использовать 4-ый способ, то количество комплектов уменьшится на 3/4.

5. Оценки ресурсов и оценки продукции в opt планировании и их использование

Для продукции как правило задается структура, т.е. удельный вес. Прямая задача позволяет определить оптимальные технологии. Решив двойственную задачу определяем: у₁, у₂, … у_m – оценка ресурсов.

у₁ – на сколько увеличится целевая функция если объем соответствующего ресурса увеличить на единицу – отдача от дополнительной единицы ресурса.

Оценка трудовых ресурсов: в модель они входят дифференцировано, разделены по категориям (инженеры, рабочие, служащие), внутри категории на профессии (столяр, слесарь, бухгалтер), внутри профессии по квалификации (разряд, старший, младший).

И в результате получим двойственные оценки. Для тех видов труда, которые в избытке мы получим нулевую оценку, для дефицитных отличное от нуля. Чем выше оценка, тем эффективнее труд. Для более сложных видов работ оценка увеличивается, для простых небольшая. Сложный труд – длительная подготовка. Эту оценку можно использовать в кадровой политике (переквалификация кадровых ресурсов, открытие новых специальностей и т.д.). С оценкой можно связать и зарплату.

Оценка природных ресурсов: их надо тоже взять дифференцировано: с/х угодия (лучшие, средние, худшие), полезные ископаемые (легко- и труднодобывающиеся).

Худшие ресурсы, как правило, используются неполностью и в модели имеют нулевую оценку. Средние и лучшие природные источники будут иметь оценку отличную от нуля. Чем выше оценка, тем эффективнее природный ресурс, т.е. выше отдача.

А как их использовать? При определении цен, налога на использование природных ресурсов. Но не используя оценку на прямую, а сохранив соотношение.

Оценки продукции: у_m+1, … y_m+r.

На сколько уменьшится целевая функция, если выпустить дополнительную единицу продукции, т.е. какую продукцию выгодно выпускать, чем меньше оценка тем выгоднее выпускать данную продукцию в данных условиях. Используется в управлении при планировании.

6. Оpt модели межотраслевого баланса.

В Межотраслевом балансе не было выбора, т.к. не рассматривались различные технологии. Межотраслевой баланс можно рассматривать как частный случай оптимальной модели на макроуровне.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение.

Рассмотрим балансовую модель:

n – отраслей (которая что-то производит и потребляет).

i = 1 … n – номер отрасли.

х_i – объем производства i-ой отрасли.

х_i – , где x_i – объем; a_ij – затраты на производственные нужды; y_i – конечная продукция (потребление), спрос.

Уравнений сколько отраслей.

Затраты трудовых ресурсов , L – общее количество занятых людей.

Оптимальная модель: z =  min трудовых затрат.

х_i – – удовлетворим спрос

х_i  0

Недостаток: может получится, что по некоторым отраслям объем х_i больше N_i – их мощности, т.е. она не реальна. Поэтому в оптимальную модель включают объем производимой продукции по некоторым отраслям. Но не для всех, а то оптимальности не будет.

х_i  N_i , i  ;

х_i  0.

Ограничения определяются в процессе решения. Конечную продукцию можно задать в виде структуры, т.е. коэффициентов.

(k₁, k₂, … k_r) – удельный вес единицы в общем объеме, т.е. спрос можно жестко не задавать.

z – число комплектов.

F = z  max

х_i –

х_i  N_i , х_i  0.

В балансовой модели учитываются мощности, задана структура и хотим max.

57