Модели оптимального составления смеси (сплава)

Готовая продукция должна удовлетворять условиям качества. Задача состоит в выборе набора компонента с целью получения минимальных затрат: модель о смесях, сплавах, оптимальном рационе питания.

Постановка задачи: Пусть готовая продукция должна содержать m-элементов, количество которых лимитировано конкретным числом е_i, i = .

1, 2,…, k – элементы ухудшающего качества;

k +1,…, m – элементы улудшающего качества.

Эта продукция может быть получена в результате участия каких-то n компонентов.

b_j, j = – количество j-того компонента;

a_ij – количество i-того компонента в одной единице j-того компонента;

с_j – цена j-того компонента;

М – количество готовой продукции;

х_j – количество j-того компонента.

Модель 1: z =  min (1)

, i = (2)

, i = (3)

(4)

x_j  b_j (5) – ограничение на объем имеющихся ресурсов

x_j  0.

Количество ограничений (m + n + 1), переменных n штук.

Модель 2: готовая продукция должна удовлетворять качеству. Все элементы только улучшают качество, е_i – минимальное количество i-того элемента в единице продукции. Эта продукция получается в результате n компонентов.

Задача: определить оптимальный состав смеси (сплава) и целью минимизации затрат.

 min (1)

, i = (2)

,

x_j  b_j, j =

x_j  0

n-переменных

ПРИМЕР:

Бензин а – 76, октановое число не ниже 76, сера не более 0,3 %

Показатели	Компоненты
	1	2	3	4
Октановое число Сера, % Ресурсы, т Себестоимость, руб.	68 0,35 700 40	72 0,35 600 45	80 0,3 500 60	90 0,2 300 90

Определить сколько тонн каждого компонента требуется для получения 1000 т бензина А – 76, при этом себестоимость должна быть минимальной.

х₁, х₂, х₃, х₄ – количество соответствующих компонентов.

z = 40  х₁ + 45  х₂ + 60  х₃ + 90  х₄  min

68  х₁ + 72  х₂ + 80  х₃ + 90  х₄  76  1000,

0,35  х₁ + 0,35  х₂ + 0,3  х₃ + 0,2  х₄  0,3  1000,

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1000,

х₁  700, x₂  600, x₃  500, x₄  300,

х₁, х₂, х₃, х₄  0

Ответ: х₁ = 571 т, х₂ = 0, х₃ = 143, х₄ = 286

х₅ = 0, х₆ = 0, х₇ = 129, х₈ = 600, х₉ = 357, х₁₀ = 14 – дополнительные переменные.

ПРИМЕР:

Требуется получить некую единицу сплава, для его изготовления требуется 5 видов исходных сплавов (компонентов). Готовая продукция должна содержать 15% олова, 55 % цинка, 30 % свинца.

Показатели	Исходные сплавы (компоненты)
	1	2	3	4	5
Олово, % Цинк, % Свинец, % Стоимость ед., руб.	20 40 40 5	10 60 30 4	30 45 25 7	20 65 15 5	5 60 35 3

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ – структура готового сплава, количество исходных сплавов в единице готовой продукции (удельный вес).

Цель: минимум затрат.

z = 5  х₁ + 4  х₂ + 7  х₃ + 5  х₄ + 3  х₅  min

20  х₁ + 10  х₂ + 30  х₃ + 20  х₄ + 5  х₅ = 15,

40  х₁ + 60  х₂ + 45  х₃ + 65  х₄ + 60  х₅ = 55,

40  х₁ + 30  х₂ + 25  х₃ + 15  х₄ + 35  х₅ = 30,

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 1

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅  0

5 – переменных, 4 - уравнения