Множественная корреляция. (лабораторная работа № 5)

Дана статистика по годам и кварталам. Вариант 85 означает, что нужно взять статистику начиная с 85 г. за 5 лет, по 4 квартала – 20 наблюдений. i = .

y_i – производительность труда.

9 факторов: х₄ – капиталовложения (по номеру колонки), х₅ - фондовооруженность … х₁₃ – коэффициент производительности оборудования.

х_i – фактор, i - номер колонки.

Этапы:

1) Выбрать 2-3 существенных фактора:

1.1. Рассчитать коэффициенты корреляции между у и х_i:

х₄: r = … ,

x₅: r = … ,

…….

x₁₃: r = …

Коэффициент корреляции покажет насколько сильно связаны у и х_i. Выбираем 6-7 факторов с мах r (r > 0,95).

1.2. Посмотреть экономический смысл показателей, они могут быть близки по смыслу – необходима автокорреляция (например, фондовооруженность и машиновооруженность).

	x4	x6	…	x13
x4	…
x6		…
…			…
x13				…

Определяем автокорреляцию между 6-7 факторами. Если автокорреляция между двумя факторами высокая r = 0,99, то они дублируют друг друга, один из них убираем. Оставляем 2-3 фактора.

у = f (х₄, х₁₂, х₁₃) – на производительность труда в большей степени влияют капиталовожения, коэффициент производительности оборудования …

2) Линейная зависимость: строим модель: у = а₀ + а₁  х₄ + а₂  х₁₂ + а₃  х₁₃.

3) Спрогнозировать у на I квартал 1990, II квартал 1990

Берем значения факторов из статистики, подставляем в модель и находим расчетное значение и .

Оценка точности прогноза: на сколько расчетные значения ушли от фактических в %:

 100%,

Е₂ = …

Окончательная точность – средняя между Е₁ и Е₂. Результаты исследований правильны, если Е_ср  5%. Если Е_ср > 5% - то лабораторная работа сделана неверно, необходим пересчет.

3. Коэффициент множественной корреляции. Частный коэффициент множественной корреляции;

Коэффициент множественной корреляции R характеризует степень влияния всех исследуемых факторов на показатель.

R = , где ; - общая средняя; ; - значения, рассчитанные по уравнению регрессии.

R =  1, если уравнение регрессии хорошо описывает статистику и существует сильная связь. Если связь слабая и уравнение регрессии ничего не дает, то R  0. Это сравнительная оценка. R показывает совокупное влияние факторов на исследуемый показатель.

у = f (х₁, х₂, … х_m)

Нужно оценить влияние каждого фактора на исследуемый показатель в данной совокупности факторов х₁, х₂, … х_m. Пусть мы рассматривали 1 фактор, построили зависимость у = f₁ (x₁). Насколько хорошо построена эта зависимость покажет дисперсия.

, i – номер наблюдения.

Рассмотрим зависимость от двух факторов: у = f₂ (x₁, х₂). Мерой ошибки является дисперсия: .

Если ошибка при построении 2-х факторов намного меньше, чем при одном факторе, то 2-й фактор очень важен и его надо учитывать.

r₂ = – коэффициент частной корреляции 2-го фактора

Если r₂  1 – значит этот фактор очень важен, х₂ включаем в исследование.

Если r₂  0 – х₂ не используем.

Если исследуется зависимость от 3-х факторов у = f₃ (x₁, х₂, х₃). Рассчитаем влияние 2-го фактора в общей совокупности:

r₂ = – коэффициент частной корреляции.

4. Понятие предельной эффективности ресурса и эластичности производства

у = f (х₁, х₂, … х_m) – уравнение регрессии.

Влияние фактора на выпуск продукции оценивается двумя показателями:

- средняя эффективность ресурса;

- предельная эффективность ресурса.

Средняя эффективность ресурса – затраты ресурса на единицу выпускаемой продукции (_i), i – номер ресурса.

_i = х_i / y.

ПРИМЕР: у = 9,39 + 0,13  х₁ + 0,62  х₂

₁ = х₁ / (9,39 + 0,13  х₁ + 0,62  х₂) – зависит от двух факторов.

Предельная эффективность ресурса характеризует приращение выпуска продукции при увеличении затрат соответствующего фактора (ресурса) на малую единицу (_i), i – номер ресурса.

_i = lim (x  0) x / y = f / x - частная производная по х_i.

ПРИМЕР: ₁ = f / x₁ = 0,13.

При изменении фактора х₁ на единицу, прирос выпуска составит 0,13 единиц.

Эластичность выпуска по тому или иному фактору – характеризует предел отношения относительно приращения выпуска продукции к относительному приросту фактора (_i), i – номер фактора.

_i = lim (x  0) (y / y) / (x_i / x_i) = lim (x  0) (y / x_i)  (x_i / y) = (f / x_i)  (x_i / y),

где f / x_i – предельная эффективность i -того фактора.

_i показывает на сколько % увеличится выпуск продукции, если затраты соответствующего ресурса (фактора) увеличить на 1%. То же, что и  i, только в относительных единицах.

ПРИМЕР: ₁ = (f / x₁)  (x₁ / y) = 0,13  (x₁ / y).

5. Линейные и степенные производственные функции. Функция Кобба-Дугласа

При построении многофакторных моделей в экономике используют два вида функций: линейная и степенная.

Эти функции непрерывные, имеют производные высоких порядков, их параметры имеют экономический смысл.

Линейная функция: у = f (х₁, х₂, … х_m)

у = а₀ + а₁  х₁ + а₂  х₂ + … + а_m  x_m (1)

а₀ – параметр, не зависящий от влияния рассматриваемых факторов.

a₁, а₂ … a_m – предельная эффективность соответствующего фактора (ресурса).

_i = у / x_i = a_i – на сколько увеличится у, если x_i увеличить на 1.

_i = (у / x_i)  (x_i / y) = a_i  (x_i / y) = a_i  (x_i / а₀ + а₁  х₁ + а₂  х₂ + … + а_m  x_m) – эластичность изменяется, зависит от всех факторов.

Степенная функция: (2)

При построении этой функции учитываются только те факторы, без которых нельзя обойтись, которые невозможно заменить, т.е. x_i  0.

Если x_i = 0, то у = 0 (производства нет).

Если вместо статистических данных брать логарифмы: ln у ln x₁ ln x₂ … ln x_m, тогда методом наименьших квадратов можно легко построить зависимость (как линейную)

ln y = ln a₀ + ₁  ln x₁ + … _m  ln x_m.

Смысл параметров:

а₀ – характеризует общее совокупное влияние всех факторов.

₁, ₂, … _m – эластичность выпуска по соответствующему фактору.

_i = у / x_i = a₀  _i 

_i = (у / x_i)  (x_i / y) = _i.

ПРИМЕР:

Рассмотрим в качестве примера исследование показателя НД = у. Два фактора: С – производственные фонды и L – трудовые ресурсы (численность).

y = f (C, L), y = 43,7  C ^0,0827  L ^0,9173.

Если трудовые ресурсы увеличить на 1%, то НД увеличится на 0,9173 %.

Обозначим сумму всех степеней: k = ₁ + ₂ + … _m

1) если k = 1, то при увеличении затрат факторов в одинаковое число раз, во столько же раз увеличится исследуемый показатель;

2) Если k > 1, то при увеличении всех факторов в n раз, у увеличивается в более чем n раз – перспектива роста.

3) Если k < 1, то при увеличении факторов производства в n раз, у увеличивается менее, чем в n раз.

Функция Кобба-Дугласа:

Два американских ученых К. Кобб и П. Дуглас рассмотрели 2-х факторную модель:

у = а₀ 

_L + _C = 1.

6. Динамические производственные функции.

В многофакторную производственную модель можно включать еще и время, тогда она станет динамической.

у = f (х₁, х₂, … х_m, t), t – время как фактор.

L (t) – затраты труда во времени.

C (t) – производственные фонды во времени.

y = f (L (t), C (t), t)

t – отражает влияние всех неучтенных факторов.

А = а₀  е^t – характеризует научно-технический прогресс, который нельзя точно измерить. Зависимость А от времени очень большая.

A

t

у = а₀  е^t  f (L (t), C (t)).

Чаще всего берут функцию Кобба-Дугласа.

Динамическая модель Кобба-Дугласа:

у = а₀  е^t 

Предварительные исследования: С = С (t) y = ₁ (C(t));

L = L (t) y = ₂ (L (t)).

ПРИМЕР:

Имея статистику получаем:

у = 1,06  е ^-0,063  C ^1,402  L ^0,441 – исследовалась зависимость НД (у) от основных производственных фондов (С) и от численности (L).

Т.к. (-0,063), то научно-технический прогресс ослабевает со временем.

Т.к. (1,402), то на величину НД в большей степени влияют основные производственные фонды.

Чтобы увеличить у, нужно увеличить С.

На следующий период времени можем сделать прогноз с помощью тренда.