18. Метод комплексных амплитуд. Комплексные амплитуды и комплексные действующие значения. Операции с комплексными значениями.

Метод комплексных амплитуд, основан на том, что показательная функция от комплексного аргумента j обладает периодичностью. На основе формулы Эйлера имеем:

.

В методе комплексных амплитуд исходное переменное напряжение в начале записывается в гармонической форме:

.

Затем это напряжение представляется в комплексной форме:

В такой форме записываются напряжения и токи цепи, выполняется анализ, получается результат в комплексной форме, вещественная часть которого и будет действительным результатом.

Запишем комплексное напряжение и комплексный ток:

,

Здесь и называются комплексными амплитудами напряжения и тока и обозначаются:

;

Комплексные амплитуды напряжения и тока – это значение комплексных напряжения и тока при t = 0.

Всякая комплексная величина может быть представлена вектором на комплексной плоскости. Если аргумент комплексной величины зависит от времени, например (2.5), то на комплексной плоскости эта величина должна представляться вектором, вращающимся против часовой стрелки (положительное направление вращения) с частотой ω. Реально отобразить это на комплексной плоскости не возможно. Поэтому такая комплексная величина на комплексной плоскости представляется в виде вектора при t = 0. На рис. 2.1 показаны вектора напряжения и тока в комплексной форме на комплексной плоскости.

Комплексная плоскость, на которой представлены вектора комплексных напряжений и токов называется векторной диаграммой.

19. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных действующих значений.

Законы Кирхгофа для комплексных токов имеют такую же трактовку, как и для цепей постоянного тока.

В цепях переменного тока помимо резисторов большую роль играют реактивные элементы – конденсаторы и катушки индуктивности. Они так же формируют сопротивление цепи. При использовании комплексных напряжений и токов вводится понятие комплексного сопротивления, которое обозначается . Закон Ома в комплексной форме имеет вид:

(2.7)

Как всякая комплексная величина, комплексное сопротивление cо стоит из вещественной и мнимой частей:

(2.8)

Вещественная часть R комплексного сопротивления цепи переменного тока включает резистивные (диссипативные) составляющие цепи. Мнимая часть X комплексного сопротивления переменного тока включает реактивные составляющие цепи. Поэтому она называется чаще реактивной составляющей комплексного сопротивления. Если вещественная часть комплексного сопротивления всегда положительная, то реактивная часть может быть положительной (X>0) или отрицательной (X<0).

Комплексное сопротивление иногда удобно представлять в тригонометрической и показательной формах:

где а

Комплексное сопротивление может быть представлено на комплексной плоскости (рис. 2.2) в виде отрезка |Z|, проведенного под углом _Z к вещественной оси.

П роекции комплексного сопротивления на оси комплексной плоскости, соединенные в виде

треугольника, создают треугольник сопротивлений. Из треугольника сопротивления можно получить выражения для модуля и фазы сопротивления (2.9), а так же косинусоидальную и синусоидальную составляющие в тригонометрической форме представления комплексного сопротивления.