7. Метод контурных токов, план анализа, пример.

Метод контурных токов позволяет заметно уменьшить число исходных уравнений. При расчёте методом контурных токов используются понятия независимого контура и зависимого контура, которые нам уже известны. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

– собственный элемент контура – элемент, относящийся только к одному контуру;

– общий элемент контура – элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n – (К–1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом независимом контуре течёт собственный контурный ток (рис. 1.17), и вначале находят контурные токи в независимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

Рис. 1.17. Пример расчета методом контурных токов

Последовательность расчёта:

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n – (К–1)].

2. Выбирается [n – (К–1)] независимых контура.

3. Выбирается условно–положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение

контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах – как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n – (К–1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

– в собственных элементах контура ток равен контурному току;

– в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Рассмотрим в общем виде применение этого метода для расчёта схемы, приведенной на рис. 1.17.

В этой схеме три ветви и два узла, следовательно, в ней только два независимых контура. Выбираем эти контура и показываем в них направления (произвольно) контурных токов I_к1 и I_к2. Составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

.

Решив эту систему уравнений, находим контурные токи I_к1 и I_к2. Затем определяем токи в ветвях:

I₁ = I_к1 , I₃ = I_к2 , I₂ = I_к1 – I_к2

8. Метод узловых потенциалов, план анализа, пример.

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно m - 1 ,

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n-1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n-1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами в результате чего определяются неизвестные по­тенциалы узлов ₁, ₂, …

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I₁, I₂ , I₃, I₄, I₅. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов ₁, ₂, ….

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (P_Ek = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k² R_k).

Рассмотрим пример:

Составим уравнения для токов через разность потенциалов на узлах:

I₂ = (φ₀ – φ₁)g₂; I₁ = (φ₀ – φ₁ + E₁)g₁; I₃ = (φ₁ – φ₂ –E₂)g₃;

I₄ = (φ₂ – φ₀)g₄; I₅ = (φ₀ – φ₂ + E₃)g₅;

Подставляем в уравнения, полученные по первому закону Кирхгофа φ₀ = 0 .

В матричной форме:

Элементы матрицы с одинаковыми индексами содержат суммы проводимостей ветвей, соединенных с данным узлом. Элементы матрицы с разными индексами содержат проводимости ветвей между соответствующими узлами со знаком минус. Правая часть каждого из уравнений равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение E×g записывается с положительным знаком, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение. Если в схеме есть источники тока J, то они входят в сумму в правых частях уравнений. Знак определяется тем же правилом.