Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка

Теорема:

Общее решение любого линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка имеет вид:

Общее Общее Частное

решение решение решение

ЛНДУ ЛОДУ ЛНДУ

Как найти ?

Для нахождения существует универсальный метод – метод Лагранжа.

Пусть ФСР Линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка имеет вид:

{ , } => ,где

(0- в зависимости от порядка n-1, где n- рорядок)

Пример:

1.

2.

ФСР: Y={ }

3.

,

=-lnx*x

=> =>

U=lnx dU=

dV=x dx V=

U =lnx dU=

dV= dx V=

Змечание:

Во многих случаях в инженерных приложениях правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка как внешнее воздействие на линейную динамическую систему имеет характерный специальный вид.

Характеристическое уравнение

В ход Выход

f(x) - отклик на внешние воздействия

- Начальные условия

Специальными правыми частями (хорошими правыми частями) называют функции следующего вида:

I) f(x)=

II) f(x)=

Квазипериодический поленом

Если рассмотреть линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянным коэффициентом, то можно подобрать исходя из принципа похоже на f(x).

Методом подбора нахождение для специальных правых частей совсем не требует интегрирования (в отличие от Лагранжа)

В зависимости от типа хорошей правой части будет иметь разный внешний вид.

Теорема I:

Пусть ) f(x)= =>

-полный многочлен n-ой степени.

-резонансный множитель, возникает, если совпадает с каким-то из кратности r.

Теорема II:

Пусть f(x)= =>

,

- полные многочлены степени l=max{m,n}

-резонансный множитель появляется если парой комплексных корней характеристического уравнения кратности r.

Полные многочлены степени k называются многочлены вида:

где все коэффициенты являются неизвестными числами.

Замечание:

Если в участвуют несколько полных многочленов, то все коэффициенты обозначают различными буквами.

Для нахождения полных многочленов необходимо просто подставить в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-ого порядка и из полученного тождества определить коэффициент.

Теорема:

Принцип суперпозиций решений.

Если в линейном неоднородном дифференциальном уравнении n-ого порядка

Пример:

1.

ФСР:

2.

I.

=

II.

III.

=>

Подставляем в дифференциальное уравнение:

- можно было найти методом Лагранжа.

§21

Системы дифференциальных уравнений – несколько уравнений взятых вместе.

Переменная, по которой берутся производная, как правило, одна и та же, чаще всего в системах переменную обозначают буквой t.

Производные по t обозначаются точками.

Определение:

Нормальной системой называется система дифференциальных уравнений следующего вида:

Если в правую часть системы в явном виде не входит время, то система называется автономной.

Для нормальной системы, как и для уравнения первого порядка можно ввести понятие общего решения, частного решения, задачи Коши.

Общее решение:

c - вектор произвольной постоянной

Частное решение:

Задача Коши:

Найти частное решение системы, удовлетворяющей начальному условию:

Определение:

Пусть дана нормальная система, кривая в n+1- мерном пространстве, являющаяся «графиком» частного решения, называется интегральной кривой системы.

t =t

;

;

t =t

Фазовым пространством нормальной системы называется n-мерное пространство

Определение:

Проекцией интегральной кривой на фазовое пространство называется фазовой траекторией нормальной системы.

Восстановить фазовую траекторию по интегральной кривой всегда возможно, а обратно нет.

;

- через неё пройдёт некоторая интегральная кривая.

t

t =t t

; M₀

х₂

фазовая траектория

х₁ фазовое пространство

Методов решения нормальной системы нет.

Существуют важные случаи: линейные нормальные системы.

Линейные нормальные системы называются системы следующего вида:

– ЛОС (линейные однородные системы)

–ЛНС(линейные неоднородные системы)

А – матрица(числовая)

- неоднородность

§22