- •Частные производные функции n-переменных.
- •Производная по направлению и градиент функции n-переменных
- •Поверхность уровня функции n-переменных.
- •Дифференцирование сложных функций.
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции n-переменных
- •Задача Условного Экстремума
- •Понятие о задаче оптимизации.
- •Дифференциальные уравнения.
- •1.1Основные понятия.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Некоторые сведения об особых решениях.
- •Уравнения второго порядка, допуск понижения.
- •Линейные уравнения первого порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянным коэффициентом.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
- •Системы дифференциальных уравнений – несколько уравнений взятых вместе.
- •Линейные однородные системы
- •Устойчивость линейной системы. Точки покоя.
- •Кратные интегралы
- •Замена переменной в двойном интеграле
- •Поверхностные интегралы.
Производная по направлению и градиент функции n-переменных
Пусть z= в D Еn, M0=(х1,х2,...,хn)-внутренняя точка
Выберем в точке M0 произвольное направление.
Δ
M0
M1
Cделаем произвольный шаг по выбранному направлению и получим точку M1.
Назовем приращением по направлению l следующую разность:
Определение:
Назовём производной по направлению l от функции в точке следующую величину:
lim
(MM0)
П роизводная по направлению обозначается:
M0
Характеризует скорость изменения функции в точке вдоль выбранного направления.
Отметим:
Поскольку в точке можно выбрать бесконечно много направлений, то производных по направлению в точке , вообще говоря, бесконечно много.
Возникает вопрос, по какому направлению в точке функция меняется быстрее всего.
Определение:
Градиентом функции в точке называется n-мерный вектор, по направлению которого производная в точке максимальна.
М0
= max, т.к =
M0
Теорем (связь между grad и производной по направлению)
Д ля любого направления l в точке производная по направлению ровна:
= f
M0 M0
( )
Теорема
Пусть в области D задана, декартова прямоугольная система координат.
П усть - дифференцируема в точке M0, тогда справедливо соотношение:
= ( , ,… , )
М0 x1 M0 x2 M0 xn M0
Теорема:
М аксимальная из всех производных по направлению в точке М0 равна модулю градиента:
max =| |
M0 M0
Пример:
z=x1 x2 x32 +x2 x3
M0(2,1,-1) M1(3,5,0)
Н айти:
1)gradf 2) max 3) ,
М0 М0 М0
z’x1=x2x32
z’x2=x1x32+1
z’x3=2x1x2 x3+1
z ’x1 = 1
M0
z ’x2 = 3
M0
z ’x3 = -5
M0
= ( 1,3, -5)
M0
2) max =|1,3,-5|=
3) =
l =M1 –M0=(1,4,1)
= = (1,3,-5) = =
M0
По направлению l в точке М0 функция возрастает со скоростью ,при этом - эта скорость не является максимальной т.к. l- не совпадает с направлением градиента
§6
Поверхность уровня функции n-переменных.
Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-мерного пространства. Пусть значение функции в точке М0=С. Поверхностью уровня называется такая поверхность в n-мерном пространстве, которая проходит через точку М0 ,и для которой значение функции в любой точке равно С.
z=f(M)=f(х1, х2,…, хn) в D Еn
f (M0)=C , M0 D
f(M)=C M поверхности
D f(M)=С
М0 f(M1)=С
М f(M2)=С
М2 М1 и т.д.
Уравнение поверхности уровня:
f(M)=С
Пример:
z=x12 +x22 +x32
Уравнение поверхности уровня:
z=C x12 +x22 +x32=C – сфера R=
z=х1 х2
У равнение поверхности уровня:
х1 х2=C – гипербола
Отметим:
В двухмерном пространстве поверхность уровня становится обычной линией. Её называют «линией уровня»
Теорема:
Градиент в точке M0 перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.
grad f
М0
М0 f(M)= f(M0)=С
Пример:
z=x12 +x22 M0(1,2)
1)Найти поверхность уровня через точку M0.
2)Градиент в точке M0.
z(M0)=5=С
x12 +x22 =5 – линия уровня
f =(2,4)
М0
х2
2 М0
1 х1
§7