- •Частные производные функции n-переменных.
- •Производная по направлению и градиент функции n-переменных
- •Поверхность уровня функции n-переменных.
- •Дифференцирование сложных функций.
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции n-переменных
- •Задача Условного Экстремума
- •Понятие о задаче оптимизации.
- •Дифференциальные уравнения.
- •1.1Основные понятия.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Некоторые сведения об особых решениях.
- •Уравнения второго порядка, допуск понижения.
- •Линейные уравнения первого порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянным коэффициентом.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
- •Системы дифференциальных уравнений – несколько уравнений взятых вместе.
- •Линейные однородные системы
- •Устойчивость линейной системы. Точки покоя.
- •Кратные интегралы
- •Замена переменной в двойном интеграле
- •Поверхностные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Используются для интегрирования скалярных и векторных функций заданных в трёхмерном пространстве.
Соответственно два типа поверхностных интегралов.
1)Поверхностный интеграл первого рода: функция скалярная f(x,y,z)
2)Поверхностный интеграл второго рода: функция векторная
z Mi
в области задана
y
x
Самый простой способ вычисления такого интеграла – параметризовать.
Пусть поверхность параметризуется.
V
при этом
U ,V новые переменные U
=>
=>
Следствие:
Пусть
- уже на оху является простой проекцией .
С помощью поверхностного интеграла первого рода можно считать любые характеристики поведения поверхности-оболочки расположенной в трёхмерном пространстве : статические моменты.
Служат для определения интегральных характеристик.
Пример:
Н айти статический момент относительно хоу части поверхности конуса отсечённого плоскостями z=1 , z=2 лежащего в первом октанте.
z=2
Δ
z=1 z=
y
D
x
2
x ,y
1
1 2
Поверхностный интеграл второго рода – (потоком вектора через поверхность ) называется следующий интеграл.
Предлагается что у поверхности две стороны.
– скалярное произведение.
Потоков всегда два в зависимости от выбранной ортонормали.
Соответственно
=> поток меняет знак в зависимости
Пусти =>
Пусть хорошо проецируется на оху.
Связь знаков координат и выбора стороны поверхности определяется по углу который составляет нужный намм орт с осью разрешённый координаты( в данном случае с осью oz)
Соответственно :
Если
Если .
Пример:
Найти П вектора через внешний n
z n2(0,0,1)
Δ2
z=x2+y2
cos(n1,oz)<0
n1
Δ1
2 y
D
x 2
2
2